Question

2．如图1，二次函数y₁=（x-2）（x-4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．
（1）写出点D的坐标（3，-1）．
（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y₂=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点A．
①试说明二次函数y₂=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点B；
②点R在二次函数y₁=（x-2）（x-4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为（3-$\sqrt{2}$，1）、（3+$\sqrt{2}$，1）或（3，-1）时，二次函数y₂=ax²+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；
③如图2，已知0＜m＜2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y₁=（x-2）（x-4）、y₂=ax²+bx+c（a≠0）的图象于点E、F、G、H（点E、G在对称轴l左侧），过点H作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y₁=（x-2）（x-4）的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）利用配方法将二次函数y₁=（x-2）（x-4）变形为顶点式，由此即可得出结论；
（2）①由点P在对称轴l上，可得出二次函数y₂=ax²+bx+c的图象的对称轴为直线l，再结合点A、B关于对称轴l对称，二次函数y₂=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点A，即可得出二次函数y₂=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点B；
②由二次函数y₂=ax²+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d，即可得出d=1，再令二次函数y₁=（x-2）（x-4）中y₁=±1求出x值，即可得出结论；
③（方法一）设N（n，0），则H（n，-2（n-2）（n-4）），Q（n，（n-2）（n-4）），由此即可得出$\frac{HN}{HQ}$=$\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$，根据相似三角形的性质即可得出$\frac{HN}{HQ}=\frac{HG}{HE}=\frac{2}{3}$，再根据对称性可得出$\frac{KG}{KE}=\frac{1}{2}$，设KG=t（t＞0），则G的坐标为（3-t，m），E的坐标为（3-2t，m），由此即可得出关于m、t的二元一次方程组，解方程组即可求出m值；
（方法二）将y=m分别代入y₁、y₂中求出点E、G、H的坐标，再将点H的横坐标代入y₁中可得出点N的坐标，由此即可得出HG、HE、HN、HQ的长度，根据相似三角形的性质即可得出关于m的无理方程，解之经检验后即可得出结论．

解答 解：（1）∵y₁=（x-2）（x-4）=x²-6x+8=（x-3）²-1，
∴顶点D的坐标为（3，-1）．
故答案为：（3，-1）．
（2）①∵点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，
∴点P的坐标为（3，2），
∴二次函数y₁=（x-2）（x-4）与y₂=ax²+bx+c的图象的对称轴均为x=3，
∵点A、B关于直线x=3对称，
∴二次函数y₂=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点B．
②∵二次函数y₂=ax²+bx+c的顶点坐标P（3，2），且图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d，
∴2d=2，解得：d=1．
令y₁=（x-2）（x-4）=x²-6x+8中y₁=±1，即x²-6x+8=±1，
解得：x₁=3-$\sqrt{2}$，x₂=3+$\sqrt{2}$，x₃=3，
∴点R的坐标为（3-$\sqrt{2}$，1）、（3+$\sqrt{2}$，1）或（3，-1）．
故答案为：（3-$\sqrt{2}$，1）、（3+$\sqrt{2}$，1）或（3，-1）．
③（方法一）设过点M平行x轴的直线交对称轴l于点K，直线l也是二次函数y₂=ax²+bx+c（a≠0）的图象的对称轴．
∵二次函数y₂=ax²+bx+c过点A、B，且顶点坐标为P（3，2），
∴二次函数y₂=-2（x-2）（x-4）．
设N（n，0），则H（n，-2（n-2）（n-4）），Q（n，（n-2）（n-4）），
∴HN=2（n-2）（n-4），QN=（n-2）（n-4），
∴$\frac{HN}{QN}$=2，即$\frac{HN}{HQ}$=$\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$．
∵△GHN∽△EHQ，
∴$\frac{HN}{HQ}=\frac{HG}{HE}=\frac{2}{3}$．
∵G、H关于直线l对称，
∴KG=KH=$\frac{1}{2}$HG，
∴$\frac{KG}{KE}=\frac{1}{2}$．
设KG=t（t＞0），则G的坐标为（3-t，m），E的坐标为（3-2t，m），
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-2（3-t-2）（3-t-4）=m}\\{（3-2t-2）（3-2t-4）=m}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{t=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{m=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{t=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{m=1}\end{array}\right.$（舍去）．
故当△GHN∽△EHQ，实数m的值为1．
（方法二）令y₁=x²-6x+8=m，
解得：x=3±$\sqrt{m+1}$，
∴点E（3-$\sqrt{m+1}$，m）．
∵二次函数y₂=ax²+bx+c过点A、B，且顶点坐标为P（3，2），
∴二次函数y₂=-2（x-2）（x-4）．
令y₂=-2（x-2）（x-4）=-2x²+12x-16=m，
解得：x=3±$\frac{\sqrt{4-2m}}{2}$，
∴点G（3-$\frac{\sqrt{4-2m}}{2}$，m），点H（3+$\frac{\sqrt{4-2m}}{2}$，m）．
当x=3+$\frac{\sqrt{4-2m}}{2}$时，y₁=（x-2）（x-4）=（1+$\frac{\sqrt{4-2m}}{2}$）（$\frac{\sqrt{4-2m}}{2}$-1）=-$\frac{1}{2}$m，
∴点Q（3+$\frac{\sqrt{4-2m}}{2}$，-$\frac{1}{2}$m）．
HG=x_H-x_G=$\sqrt{4-2m}$，HE=x_H-x_E=$\frac{\sqrt{4-2m}}{2}$+$\sqrt{m+1}$，HN=y_H-y_N=m，HQ=y_H-y_Q=$\frac{3}{2}$m，
∵△GHN∽△EHQ，
∴$\frac{HN}{HQ}=\frac{HG}{HE}$=$\frac{\sqrt{4-2m}}{\frac{\sqrt{4-2m}}{2}+\sqrt{m+1}}$=$\frac{2}{3}$，
整理得：4-2m=m+1，
解得：m=1，
将检验后可得m=1是方程$\frac{\sqrt{4-2m}}{\frac{\sqrt{4-2m}}{2}+\sqrt{m+1}}$=$\frac{2}{3}$的解．
故当△GHN∽△EHQ，实数m的值为1．

点评 本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的性质以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式化成顶点式；（2）①由二次函数图象的对称性找出点B在二次函数y₂=ax²+bx+c（a≠0）的图象上；②求出d=1；③根据相似三角形的性质找出对应边的比例．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质找出边与边之间的关系是关键．