Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是射线BC上的点．
（1）如图（1），若BC=6，设BP=x，AP=y．求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（2）如图（2），若点P在BC边上，求证：AP²+PB•PC=25；
（3）如图（3），当点P在BC延长线上，请直接写出AP²，PB，PC，AB²满足的数量关系．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥BC于H，可求得BH=HC=3，则HP=|x-3|，在Rt△AHP中，由勾股定理可得到函数关系式；
（2）用x可分别表示出PB和PC，再利用（1）的结论可求得AP²+PB•PC=25；
（3）同（2）的过程可证得AP²-PB•PC=25，可得到AP²-PB•PC=AB²．

解答 解：
（1）如图1，作AH⊥BC于H，

∵AB=AC，
∴BH=HC=$\frac{1}{2}$BC=3，
在Rt△ABH中，AB=5，
∴AH=$\sqrt{A{B^2}-B{H^2}}$=4，
在Rt△AHP中，由勾股定理可得AP=$\sqrt{A{H^2}-H{P^2}}$，
∵BP=x，
∴HP=|x-3|
∴y=$\sqrt{{4^2}+{{（x-3）}^2}}$（x≥0）；
（2）证明：
如图2，当点C在线段BC上时，

作AH⊥BC于H，则BH=CH，
在Rt△AHP中，AP²=AH²+HP²
在△ABH中，AB²=AH²+BH²，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH，
∴AB²-AP²=BH²-HP²=（BH+HP）（BH-HP）=PB•CP，
∴AP²+PB•PC=AB²=25；
（3）如图3，当点P在线段BC的延长线上时，

作AH⊥BC于H，则BH=CH，
在Rt△AHP中，AP²=AH²+HP²
在△ABH中，AB²=AH²+BH²，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH，
∴AP²-AB²=PH²-HB²=（BH+HP）（PH-HB）=PB•CP，
∴AP²-PB•PC=AB²=25；
∴AP²-PB•PC=AB²．

点评 本题为三角形的综合应用，涉及知识点有勾股定理、函数解析式及方程思想等．在解决（2）、（3）问时，注意转化成（1）的情形．本题所考查内容都是基础知识，难度不大．