Question

在如图1中，画出已知△ABC内接正方形A′B′C′D′，使其一边B′C′在BC上，另外两个顶点A′、D′分别在AB和AC上（不写画法，保留作图痕迹），如图2，如果∠A是直角，AB=4，AC=3，求正方形A′B′C′D′的边长．

Answer 1

解：（1）如图1，任意画一个小正方形，将B点与小正方形的一个顶点连接，交AC于D′点，再过D′点分别作BC的平行线，垂线，得到正方形A′B′C′D′；
（2）如图2，过A点作AH⊥BC，垂直为H，交A′D′于G点，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC===5，
由三角形面积公式，得AH×BC=AB×AC，解得AH==，
设正方形A′B′C′D′的边长为x，
∵A′D′∥BC，∴△AA′D′∽△ABC，
∴=，即=，解得x=，即正方形A′B′C′D′的边长为．
分析：（1）利用“位似”的方法画图；
（2）过A点作AH⊥BC，垂直为H，利用“面积法”求AH，根据A′D′∥BC，证明△AA′D′∽△ABC，根据相似比等于对应边上高的比，列方程求正方形A′B′C′D′的边长．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是利用“位似”法画出正方形，利用相似三角形的判定与性质求正方形的边长．