Question

（2003•淮安）已知关于x的一元二次方程x²-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为23，求m的值．
某同学的解答如下：
解：设x₁、x₂是方程的两根，
由根与系数的关系，得x₁+x₂=-m，x₁x₂=2m-1；
由题意，得x₁²+x₂²=23；
又x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂；
∴m²-2（2m-1）=23．
解之，得m₁=7，m₂=-3，
所以，m的值为7或-3．
上述解答中有错误，请你指出错误之处，并重新给出完整的解答．

Answer 1

【答案】分析：根据一元二次方程根的判别式结合根与系数的关系解答．
解答：答：错误之处在于方程x²-mx+2m-1=0中，a=1，b=-m，x₁+x₂=m．
运用两根关系解得答案时，没有代入方程的判别式检验．
解：由根与系数的关系，得x₁+x₂=m，x₁x₂=2m-1．
由题意，得x₁²+x₂²=23．
又x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂．
∴m²-2（2m-1）=23．
解之，得m₁=7，m₂=-3．
所以，m的值为7或-3．
当m=7时，△=（-m）²-4（2m-1）
=（-7）²-4（2×7-1）
=-1＜0，方程无实根．
当m=-3时，△=（-m）²-4（2m-1）
=（3）²-4[2×（-3）-1]
=37＞0，方程有两个不相等的实数根实根．
∴m=-3．
点评：此类题目是中学阶段常规题目，此类题目在根据根与系数的关系解得答案时要代入原方程的判别式进行检验．