Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交于y轴于点H．

（1）连接BM，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以1个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；

（2）在（1）的情况下，当点P在线段AB上运动时，是否存在以BM为腰的等腰三角形BMP？如存在，求出t的值；如不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）当t=1或时，△PMB为以BM为腰的等腰三角形．

【解析】

（1）设点M到BC的距离为h，由△ABC的面积易得h，利用分类讨论的思想，三角形的面积公式①当P在直线AB上运动；②当P运动到直线BC上时分别得△PBM的面积；

（2）分类讨论：①当MB=MP时，PH=BH，解得t；②当BM=BP时，利用勾股定理可得BM的长，易得t．

解：

（1）设点M到BC的距离为h，

由S△ABC=S△ABM+S△BCM，

即 ，

∴h=，

①当P在直线AB上运动时△PBM的面积为S与P的运动时间为t秒关系为：

S=（5﹣t）×，即S=﹣ （0≤t＜5）；

②当P运动到直线BC上时△PMB的面积为S与P的运动时间为t秒关系为：

S= [5﹣（10﹣t）]×，即S=t-（5＜t≤10）；

（2）存在①当MB=MP时，

∵点A的坐标为（﹣3，4），AB=5，MB=MP，MH⊥AB，

∴PH=BH，即3﹣t=2，

∴t=1；

②当BM=BP时，即5﹣t= ，

∴

综上所述，当t=1或时，△PMB为以BM为腰的等腰三角形．