Question

18．（1）将一多项式（17x²-3x+4）-（ax²+bx+c），除以（5x+6）后，得商式为（2x+1），余式为0，求a-b-c的值．
（2）已知a、b、c、d都是正整数，并且a⁵=b⁴，c³=d²，c-a=9，求a-b的值．

Answer 1

分析 （1）根据被除数=除数×商列出关系式，利用多项式相等的条件求出a，b，c的值，即可求出a-b-c的值；
（2）已知等式a⁵=b⁴，c³=d²变形表示出a与c，代入c-a=9中整理得到两个等式，相加减表示出d与b，代入已知等式求出a与b的值，即可求出a-b的值．

解答 解：（1）根据题意得：（17x²-3x+4）-（ax²+bx+c）=（17-a）x²-（b+3）x+4-c=（5x+6）（2x+1）=10x²+17x+6，
可得17-a=10，-b-3=17，4-c=6，
解得：a=7，b=-20，c=-2，
则a-b-c=7+20+2=29；
（2）由a⁵=b⁴，得：a=$\frac{{b}^{4}}{{a}^{4}}$=（$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$）²，
由c³=d²，得：c=$\frac{{d}^{2}}{{c}^{2}}$=（$\frac{d}{c}$）²，
代入c-a=9得：-（$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$）²+（$\frac{d}{c}$）²=9，
即（$\frac{d}{c}$+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$）（$\frac{d}{c}$-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$）=9，
显然，前一个括号的值大于后一个括号的值，故有$\frac{d}{c}$+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=9，$\frac{d}{c}$-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1，
两式相加得：$\frac{d}{c}$=5，即d=5c；
两式相减得：$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=4，即b²=4a²，
解得：b=2a，
∵a⁵=b⁴，c³=d²，
∴c³=d²=（5c）²=25c²，即c=25，d=5c=125，
由c-a=9，得a=c-9=25-9=16，b=2a=32，
则a-b=16-32=-16．

点评 此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．