Question

如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

Answer 1

解：如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形．
在Rt△PBD中，∵∠BDP=90°，∠BPD=26.6°，
∴BD=PD•tan∠BPD=PD•tan26.6°；
在Rt△CPD中，∵∠CDP=90°，∠CPD=37°，
∴CD=PD•tan∠CPD=PD•tan37°；
∵CD-BD=BC，
∴PD•tan37°-PD•tan26.6°=80，
∴0.75PD-0.50PD=80，
解得PD=320，
∴BD=PD•tan26.6°≈320×0.50=160，
∵OB=220，
∴PE=OD=OB-BD=60，
∵OE=PD=320，
∴AE=OE-OA=320-200=120，
∴tanα===0.5，
∴坡度为1：2．
分析：过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形，先解Rt△PBD，得出BD=PD•tan26.6°；解Rt△CPD，得出CD=PD•tan37°；再根据CD-BD=BC，列出方程，求出PD=320，进而求出PE=60，AE=120，然后在△APE中利用三角函数的定义即可求解．
点评：本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．