Question

16．如图，已知A（-4，n），B（-1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数$y=\frac{m}{x}$（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
（2）求反比例函数及一次函数的解析式；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．

Answer 1

分析 （1）观察函数图象得到当-4＜x＜-1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；
（2）将点B（-1，2）代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$（m≠0，m＜0）得出m，从而得出反比例函数的解析式，再把点A（-4，n）代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$（m≠0，m＜0）得出点A坐标，将A、B坐标代入y=kx+b，得出k和b，从而得出一次函数的解析式；
（3）根据点P在线段AB上，设出点P坐标，再由△PCA和△PBD面积相等，得出关于x的等式，求得x的值，即可得出点P坐标．

解答 解：（1）由图象，当-4＜x＜-1时，一次函数值大于反比例函数的值．
（2）把B（-1，2），A（-4，n）代入$y=\frac{m}{x}$得m=-2，n=$\frac{1}{2}$．
则反比例函数解析式是y=-$\frac{2}{x}$．
把A（-4，$\frac{1}{2}$），B（-1，2）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}-4k+b=\frac{1}{2}\\-k+b=2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2}\\ b=\frac{5}{2}\end{array}\right.$．
则一次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$．
（3）如图，设P的坐标为（x，$\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$），
由A、B的坐标可知AC=$\frac{1}{2}$，OC=4，BD=1，OD=2，
则△PCA的高为x+4，△PDB的高$2-（\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}）$，
由S_△PCA=S_△PDB可得$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（x+4）=$\frac{1}{2}$×1×（2-$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$），
解得$x=-\frac{5}{2}$，
此时$\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$=$\frac{5}{4}$．
故P点坐标为（$-\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．