Question

7．如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是边CD和AD上的点，且DF=DE=2，连结AE，作点F关于AE的对称点G，连结AG并延长交CD于点H，过点G的直线l分别交线段AF，BC于点M，N，且MN=AH．则AH和MF的长分别是$\frac{15}{2}$和$\frac{13}{5}$．

Answer 1

分析 过E作PE⊥AH于点P，设HE=x，由sin∠AHD=$\frac{AD}{AH}$=$\frac{PE}{HE}$，得$\frac{6}{AH}$=$\frac{2}{x}$，可得AH=3x，在Rt△ADH中，由AD²+DH²=AH²，可得6²+（2+x）²=（3x）²，解方程即可．过G作GQ⊥AD于点Q，并反向延长交BC于点R，易得GQ=AG•sin∠DAH=$\frac{12}{5}$，推出GR=$\frac{18}{5}$，由MQ∥RN，可得$\frac{GM}{GN}$=$\frac{GQ}{GR}$=$\frac{2}{3}$，推出GM=3，MQ=$\frac{9}{5}$，由tan∠QGF=tan∠DAE=$\frac{1}{3}$，得QF=$\frac{12}{5}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{5}$，即可推出MF=$\frac{8}{5}$+$\frac{4}{5}$=$\frac{13}{5}$．

解答 解：过E作PE⊥AH于点P，设HE=x
由sin∠AHD=$\frac{AD}{AH}$=$\frac{PE}{HE}$，得$\frac{6}{AH}$=$\frac{2}{x}$，
∴AH=3x，
在Rt△ADH中，∵AD²+DH²=AH²，
∴6²+（2+x）²=（3x）²，解得x=$\frac{5}{2}$，
∴AH=$\frac{15}{2}$．
过G作GQ⊥AD于点Q，并反向延长交BC于点R，易得GQ=AG•sin∠DAH=$\frac{12}{5}$，
∴GR=$\frac{18}{5}$，
∵MQ∥RN，
∴$\frac{GM}{GN}$=$\frac{GQ}{GR}$=$\frac{2}{3}$，
∴GM=3，
∴MQ=$\frac{9}{5}$，由tan∠QGF=tan∠DAE=$\frac{1}{3}$，得QF=$\frac{12}{5}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{5}$，
∴MF=$\frac{8}{5}$+$\frac{4}{5}$=$\frac{13}{5}$．
故答案为$\frac{15}{2}$或$\frac{13}{5}$．

点评 本题考查正方形的性质、轴对称变换、锐角三角函数、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．