Question

如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以2厘米/每秒的相同速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．设运动时间为t秒．
（1）用含t的式子表示：AP=

 

，AE=

 

，BE=

 

．
（2）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：动点型

分析：（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，即可求得答案；
（2）在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6-2t=

1

2

（6+2t），求出t的值即可；
（3）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EF=BE+BF=BE+AE=AB，DE=

1

2

AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

解答：解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠A=60°，
根据题意得：AP=2tcm，
∵PE⊥AB，
∴AE=AP•cos60°=t（cm），
∴BE=AB-AE=6-t（cm）；
故答案为：2tcm，tcm，（6-t）cm；

（2）∵∠C=60°，∠BQD=30°，
∴△PCQ是直角三角形，
∴PC=

1

2

QC，
根据题意得：BQ=2tcm，则CQ=BC+BQ=6+2t（cm），PC=AC-AP=6-2t（cm），
∴6-2t=

1

2

（6+2t），
解得：t=1，
∴AP=2；

（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF，
∴在△APE和△BQF中，

∠AEP=∠BFQ  ∠A=∠FBQ  AP=BQ

，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=

1

2

EF，
∵EF=BE+BF=BE+AE=AB，
∴DE=

1

2

AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE=3，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

点评：本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．