Question

【题目】如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°．

（1）操作发现：如图2，若∠B＝∠DEC＝30°，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是　 　；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，S1与S2的数量关系是　 　；

（2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，请你证明小明的猜想；

（3）拓展探究

如图4，若BC＝3，AC＝2，当△DEC绕点C旋转的过程中，四边形ABDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①DE∥AC；②S1＝S2；（2）成立，证明详见解析；（3）存在，最大值为12．

【解析】

（1）①根据旋转的性质可得AC＝CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD＝60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；

②根据等边三角形的性质可得AC＝AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC＝AB，然后求出AC＝BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；

（2）根据旋转的性质可得BC＝CE，AC＝CD，再求出∠ACN＝∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN＝DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；

（3）由四边形ABDE的面积＝S△ABC+S△BDC+S△ACE+S△DCE＝2××2×3+2S△BDC，则△BDC的面积最大时，四边形ABDE的面积最大，即可求解．

（1）①DE∥AC，

理由如下：

∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，

∴AC＝CD，

∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠ACD＝60°，

又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，

∴∠ACD＝∠CDE，

∴DE∥AC；

②∵∠B＝30°，∠C＝90°，

∴CD＝AC＝AB，

∴BD＝AD＝AC，

根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），

即S1＝S2；

故答案为：DE∥AC；S1＝S2；

（2）如图3，作点D作DM⊥BC于M，过点A作AN⊥CE于N，

∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，

∴BC＝CE，AC＝CD，

∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，

∴∠ACN＝∠DCM，

在△ACN和△DCM中，

,

∴△ACN≌△DCM（AAS），

∴AN＝DM，

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），

即S1＝S2．

（3）∵四边形ABDE的面积＝S△ABC+S△BDC+S△ACE+S△DCE＝2××2×3+2S△BDC，

∴△BDC的面积最大时，四边形ABDE的面积最大，

∴当CD⊥BC时，△BDC的面积最大值为×2×3＝3，

∴四边形ABDE的面积最大值＝2××2×3+2×3＝6+6＝12．