Question

17．如图，在矩形ABCD中，AD=1，AB＞1，AG平分∠BAD，分别过点B、C作BE⊥AG于点E，CF⊥AG于点F，则（AE-GF）的值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设AE=x，则AB=$\sqrt{2}$x，由矩形的性质得出∠BAD=∠D=90°，CD=AB，证明△ADG是等腰直角三角形，得出AG=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$，同理得出CD=AB=$\sqrt{2}$x，CG=CD-DG=$\sqrt{2}$x-1，CG=$\sqrt{2}$GF，得出GF，即可得出结果．

解答 解：设AE=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠D=90°，CD=AB，
∵AG平分∠BAD，∴∠DAG=45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴DG=AD=1，
∴AG=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$，
同理：BE=AE=x，CD=AB=$\sqrt{2}$x，
∴CG=CD-DG=$\sqrt{2}$x-1，
同理：CG=$\sqrt{2}$FG，
∴FG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CG=x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AE-GF=x-（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．