Question

如图，过矩形ABCD对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于E、F，点G为AE的中点，若∠AOG=30°，求证：OG=DC．

Answer 1

证明：连接OB，
∵EF⊥AC，
∴△AOE是直角三角形
∴OG=AG=GE，
∴∠BAC=∠AOG=30°，∠AEO=60°，∠GOE=∠AOE-∠AOG=60°，
∴△OEG是正三角形，
∴OG=OE=GE，
∴∠ABO=∠BAC=30°，
∴∠AOB=180°-30°-30°=120°，
∴∠BOE=∠AOB-90°=30°，
∴△OEB是等腰三角形，
∴OE=EB，
∴OG=AG=GE=EB=OE，
∴OG=AB=DC．
分析：连接OB，利用在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得：AG=OG，再由已知条件可得△OEG是正三角形，进而证明△OEB是等腰三角形，得到OG=AG=GE=EB=OE，问题得证．
点评：本题考查了矩形的性质和直角三角形的性质①在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；②在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）．