如图.在直角坐标系中.矩形OABC的边OA.OC分别在x轴.y轴上.其中点A.C的坐标分别为A.点D是射线CB上-动点.已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点D且与射线AB交于点E.连接DE．(1)当点D为BC边的中点时.求点E的坐标,(2)当点D在CB的延长线上时.已知△BDE的面积为$\frac{1}{16}$.求k的值,(3)是否存在点D及y轴上点F.使得以� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，其中点A，C的坐标分别为A（1，0），C（0，2），点D是射线CB上-动点，已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点D且与射线AB交于点E，连接DE．
（1）当点D为BC边的中点时，求点E的坐标；
（2）当点D在CB的延长线上时，已知△BDE的面积为$\frac{1}{16}$，求k的值；
（3）是否存在点D及y轴上点F，使得以点D，E，F为顶点的三角形与△BDE全等？若存在，请直接写出D点的坐标，若不存在，请说明理由．

分析（1）由A、C的坐标可求得B点坐标，则可求得D点坐标，从而可求得反比例函数解析式，则可求得E点坐标；
（2）用k可分别表示出D、E的坐标，从而可表示出BD和BE的长，利用△BDE的面积可得到关于k的方程，可求得k的值；
（3）可设F（0，t），则可表示出CF、CD、DF的长，分点D在线段BC上和在线段CB的延长线上两种情况，由△CDF∽△MFE，可得$\frac{DF}{EF}$=$\frac{CF}{EM}$，即$\frac{1-\frac{k}{2}}{2-k}$=$\frac{2-k-t+k}{1}$，解得t=$\frac{3}{2}$，再利用勾股定理列方程，可求得k的值，则可求得D的坐标．

解答解：（1）∵四边形OABC为矩形，A（1，0），C（0，2），
∴OA=1，OC=2，
∴B（1，2），
∵D为线段BC的中点，
∴D（$\frac{1}{2}$，2），
∴反比例函数解析式为y=$\frac{1}{x}$，
当x=1时，y=1，
∴E点坐标为（1，1）；

（2）由（1）可知OA=1，OC=2，
∴D（$\frac{k}{2}$，2），E（1，k），
∴BE=k-2，BD=$\frac{k}{2}$-1，
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}$BD•BE=$\frac{1}{2}$（k-2）（$\frac{k}{2}$-1）=$\frac{1}{16}$，
解得k=$\frac{3}{2}$或k=$\frac{5}{2}$；

（3）存在．当点D在线段BC上时，过E作EM⊥y轴于点M，如图1，

设F（0，t），则OF=t，CF=2-t，
由（2）可设D（$\frac{k}{2}$，2），E（1，k），
∴AE=OM=k，BE=2-k，CD=$\frac{k}{2}$，BD=1-$\frac{k}{2}$，MF=t-k，
∵△DEF≌△DEB，
∴DF=BD=1-$\frac{k}{2}$，EF=BE=2-k，
在Rt△CDF中，由勾股定理可得CD²+CF²=DF²，即（$\frac{k}{2}$）²+（2-t）²=（1-$\frac{k}{2}$）²，整理可得k=-t²+4t-3，
由△CDF∽△MFE，可得$\frac{DF}{EF}$=$\frac{CF}{EM}$，
∴$\frac{1-\frac{k}{2}}{2-k}$=$\frac{2-k-t+k}{1}$，
解得t=$\frac{3}{2}$，
∴k=-$\frac{9}{4}$+6-3=$\frac{3}{4}$，
∴D点的坐标为（$\frac{3}{8}$，2）．

点评本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．

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