Question

11．正方形ABCD、正方形CEFG如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在BC边上，PA=PF，且∠APF=90°，连结AF交CD于H，有下列结论：①BP=CE；②AP=AH；③∠BAP=∠GFP；④BC+CE=$\frac{1}{2}$AF²；⑤S_{正方形ABCD}+S_{正方形CEFG}=2S_△APF．以上结论正确的个数有（　　）

• A． 5个
• B． 4个
• C． 3个
• D． 2个

Answer 1

分析 利用等角的余角相等得到∠BAP=∠FPE，则可根据“AAS”判断△ABP≌△PEF，则BP=EF，再利用四边形CEFG都是正方形得到CE=EF，则可对①进行判断；由于∠BAP≠∠DAH，则不能判断△ABP≌△ADH，于是可对②进行判断；利用GF∥CE得到∠EPF=∠GFP，加上∠BAP=∠EPF，所以∠BAP=∠GFP，则可对③进行判断；通过证明△APF为等腰直角三角形得到AF=$\sqrt{2}$AP，则AP²=$\frac{1}{2}$AF²，由于利用勾股定理得到AP²=AB²+BP²，加上AB=BC，BP=CE，则可对④错误；然后利用正方形和等腰三角形的面积公式可对⑤进行判断．

解答 解：∵∠APF=90°，
∴∠APB+∠FPE=90°，
而∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠FPE，
在△ABP和△PEF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=EPF}\\{∠B=∠E}\\{AP=PF}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△PEF，
∴BP=EF，
∵四边形CEFG都是正方形，
∴CE=EF，
∴BP=CE，所以①正确；
∵∠BAP≠∠DAH，
∴不能判断△ABP≌△ADH，
∴不能确定AP=AH，所以②错误；
∵四边形CEFG都是正方形
∴GF∥CE，
∴∠EPF=∠GFP，
而∠BAP=∠EPF，
∴∠BAP=∠GFP，所以③正确；
∵∠APF=90°，AP=PF，
∴△APF为等腰直角三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$AP，
∴AP²=$\frac{1}{2}$AF²，
∵AP²=AB²+BP²，
而AB=BC，BP=CE，
∴BC²+CE²=$\frac{1}{2}$AF²，所以④错误；
∵S_{正方形ABCD}+S_{正方形CEFG}=AB²+CE²=AP²，
S_△APF=$\frac{1}{2}$AP²，
∴S_{正方形ABCD}+S_{正方形CEFG}=2S_△APF，所以⑤正确．
故选B．

点评 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和二次函数的性质；能灵活运用全等三角形的知识解决线段线段的问题．