Question

17．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C顺时针方向旋转60°，到△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．
（3）探索：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质得出CO=CD，∠OCD=60°，即可得出结论；
（2）由旋转的性质得出△BOC≌△ADC，得出∠ADC=∠BOC=150°，由等边三角形的性质得出∠ODC=60°，求出∠ADO=90°即可；
（3）分三种情况：①AO=AD时；②OA=OD时；③OD=AD时；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出结果．

解答 （1）证明：由旋转的性质得：CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形；
（2）解：当α=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形．理由如下：
由旋转的性质得：△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADO=90°，
即△AOD是直角三角形；
（3）解：分三种情况：
①AO=AD时，∠AOD=∠ADO．
∵∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-α=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴190°-α=α-60°
∴α=125°；
②OA=OD时，∠OAD=∠ADO．
∵∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=50°，
∴α-60°=50°
∴α=110°；
③OD=AD时，∠OAD=∠AOD．
∵190°-α=50°
∴α=140°．
综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．（

点评 本题是三角形综合题目，以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．