Question

【题目】（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE。

①∠AEB的度数为__________；

②线段AD，BE之间的数量关系为__________；

（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离为________________________________。

Answer 1

【答案】（1）①60°，②AD=BE；（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM，理由见解析；（3）A到BP的距离为或.

【解析】

（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．
（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD=BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE．
（3）由PD=1可得：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD=90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题．

解：（1）①如图1，

∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°．
∴∠BEC=120°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°．
故答案为：60°．

②∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
故答案为：AD=BE．

（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．

理由：如图2，

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．

∴∠ACD=∠BCE。

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE．

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，

∵△DCE为等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°，

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC=135°，

∴∠BEC=135°，

∴∠AEB=∠BEC－∠CED=90°，

∵CD=CE，CM⊥DE，

∴DM=ME，

∵∠DCE=90°，

∴DM=ME=CM，

∴AE=AD+DE=BE+2CM．

（3）A到BP的距离为或．

理由如下：
∵PD=1，
∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．
∵∠BPD=90°，
∴点P在以BD为直径的圆上．
∴点P是这两圆的交点．
①当点P在如图3①所示位置时，

连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，
过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°．
∴BD= ．
∵DP=1，
∴BP=．
∵∠BPD=∠BAD=90°，
∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，
∴∠APB=∠ADB=45°．
∴△PAE是等腰直角三角形．
又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，
∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD．
∴=2AH+1．
∴AH=．

②当点P在如图3②所示位置时，
连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，
过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．
同理可得：BP=2AH-PD．
∴=2AH-1．
∴AH=．
综上所述：点A到BP的距离为或．

故答案为：（1）①60°，②AD=BE；（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM，理由见解析；（3）A到BP的距离为或．