Question

7．如图，在矩形ABCD中，ABcm=3，BC=4cm，点O是对角线AC的中点，连结BO，动点p，Q从点B同时出发，点p沿B→C→B以2cm/s的速度运动到终点B，点Q沿B→A以1cm/s的速度运动到终点A，以BP、BQ为边作矩形BPMQ（点M不与点A重合）．设矩形BPMQ与△OBC重叠部分图形的面积为y（cm²），点P的运动时间为x（s）．
（1）线段OB=$\frac{5}{2}$；
（2）当点M在AC上时，求x的值；
（3）当矩形BPMQ与△OBC重叠部分的图形是四边形时，求y与x之间的函数关系式；
（4）连结BM、MO，直接写出△BOM为直角三角形时x的值．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理得到AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，然后由直角三角形的性质得到结论；
（2）先求出∠MPC=∠ABC=90°，再根据tan∠MCP=tan∠ACB，得出$\frac{MP}{PC}=\frac{AB}{BC}$，即$\frac{x}{4-2x}$=$\frac{3}{4}$，求出x即可；
（3）根据S_△ABC=6，点O是对角线AC的中点，得出S_△OBC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=3，分三种情况讨论：①当0＜x≤$\frac{6}{5}$时，设OB与QM的交点为E，根据$\frac{QE}{QB}=\frac{BC}{AB}$得出QE=$\frac{4}{3}$x，根据y=S_矩形BPMQ-S_△BEQ代入计算即可；②当$\frac{3}{2}$≤x＜2时，设OC与PM的交点为F，根据$\frac{PF}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$，得出PF=$\frac{3}{4}$（4-2x），根据y=S_△BOC-S_△PCF代入计算即可；③当2＜x＜3时，设OC与PM的交点为G，根据$\frac{PG}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$，得出PG=$\frac{3}{4}$（2x-4），根据y=S_△BOC-S_△PCG代入计算即可；
（4）当△BOM为直角三角形时，∠BOM=90°，如图⑦由∠ABO=∠BAO，∠ABC=∠BQG，推出△ABC∽△BGQ，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{AC}=\frac{QB}{BG}$，于是得到BG=$\frac{5}{3}$x，同理QG=$\frac{4}{3}$x，求出OG=$\frac{5}{2}$-$\frac{5}{3}$x，MG=2x-$\frac{4}{3}$x=$\frac{2}{3}$x，通过△QGB∽△OMG，于是得到$\frac{OG}{QG}=\frac{GM}{BG}$，列方程即可得到结果．

解答 解：（1）∵在矩形ABCD中，ABcm=3，BC=4cm，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵∠ABC=90°，
∴BO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$，
故答案为：$\frac{5}{2}$；

（2）如图①，
∵在矩形ABCD中，
∴∠ABC=90°．
∵∠MPC=∠ABC=90°，
∴tan∠MCP=tan∠ACB．
∴$\frac{MP}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$，
∴$\frac{x}{4-2x}$=$\frac{3}{4}$，
∴x=$\frac{6}{5}$； 

（3）∵在矩形ABCD中，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×3=6．
∵点O是对角线AC的中点，
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=3．
①当0＜x≤$\frac{6}{5}$时，如图④，设OB与QM的交点为E．               
∵tan∠QBE=tan∠CAB，
∴$\frac{QE}{QB}=\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{QE}{x}=\frac{4}{3}$，
∴QE=$\frac{4}{3}$x，
∴y=S_矩形BPMQ-S_△BEQ=x•2x-$\frac{1}{2}$x•$\frac{4}{3}$x=$\frac{4}{3}$x²，
②当$\frac{3}{2}$≤x＜2时，如图⑤，设OC与PM的交点为F，
∵tan∠BCA=tan∠PCF，
∴$\frac{PF}{PC}=\frac{AB}{BC}$，
∴$\frac{PF}{4-2x}$=$\frac{3}{4}$，
∴PF=$\frac{3}{4}$（4-2x），
∴y=S_△BOC-S_△PCF=3-$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$（4-2x）²=-$\frac{3}{2}$x²+6x-3．          
③当2＜x＜3时，如图⑥，设OC与PM的交点为G．                
∵tan∠BCA=tan∠PCG，
∴$\frac{PG}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$，
∴$\frac{PG}{2x-4}$=$\frac{3}{4}$，
∴PG=$\frac{3}{4}$（2x-4），
∴y=S_△BOC-S_△PCG=3-$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$（2x-4）²=-$\frac{3}{2}$x²+6x-3，
综合所述，y与x之间的函数关系式为y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}{x}^{2}（0＜x≤\frac{6}{5}）}\\{-\frac{3}{2}{x}^{2}+6x-3（\frac{3}{2}≤x＜2）}\\{-\frac{3}{2}{x}^{2}+6x-3（2＜x＜3）}\end{array}\right.$；
（4）当△BOM为直角三角形时，分两种情况：∠BOM=90°，
如图⑦∵∠ABO=∠BAO，∠ABC=∠BQG，
∴△ABC∽△BGQ，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{QB}{BG}$，
∴$\frac{3}{5}=\frac{x}{BG}$，
∴BG=$\frac{5}{3}$x，
同理QG=$\frac{4}{3}$x，
∴OG=$\frac{5}{2}$-$\frac{5}{3}$x，MG=2x-$\frac{4}{3}$x=$\frac{2}{3}$x，
∵∠BQG=∠GOM=90°，∠QGB=∠OGM，
∴△QGB∽△OMG，
∴$\frac{OG}{QG}=\frac{GM}{BG}$，
∴$\frac{\frac{5}{2}-\frac{5}{3}x}{\frac{4}{3}x}=\frac{\frac{2}{3}x}{\frac{5}{3}x}$，
解得：x=$\frac{25}{22}$，
②∠BMO=90°，
如图8，连接DQ，延长MO交DQ于H，
∴当DQ∥BM时，∠BMO=90°，
∵AD∥QM，
∴∠ADQ=∠DQM，
∴△ADQ∽△BMQ，
∴$\frac{AQ}{AD}=\frac{1}{2}$，
即$\frac{3-x}{4}=\frac{1}{2}$，
∴x=1，
综上所述：△BOM为直角三角形时x的值为1或$\frac{25}{22}$．

点评 此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、矩形的性质、三角函数等，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，注意分类讨论．