Question

如图，点C在线段AB上，AC=8 cm，CB=6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC-BC=bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由；
（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？

Answer 1

分析：（1）根据M、N分别是AC、BC的中点，我们可得出MC、NC分别是AC、BC的一半，那么MC、CN的和就应该是AC、BC和的一半，也就是说MN是AB的一半，有了AC、CB的值，那么就有了AB的值，也就能求出MN的值了；
（2）方法同（1）只不过AC、BC的值换成了AC+CB=a cm，其他步骤是一样的；
（3）当C在线段AB的延长线上时，根据M、N分别是AC、BC的中点，我们可得出MC、NC分别是AC、BC的一半．于是，MC、NC的差就应该是AC、BC的差的一半，也就是说MN是AC-BC即AB的一半．有AC-BC的值，MN也就能求出来了；
（4）综合上面我们可发现，无论C在线段AB的什么位置（包括延长线），无论AC、BC的值是多少，MN都恒等于AB的一半．

解答：解：（1）
∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=

1

2

AC，CN=

1

2

BC，
∵MN=MC+CN，AB=AC+BC，
∴MN=

1

2

AB=7cm；

（2）MN=

a

2

，
∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=

1

2

AC，CN=

1

2

BC，
又∵MN=MC+CN，AB=AC+BC，
∴MN=

1

2

（AC+BC）=

a

2

；

（3）
∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=

1

2

AC，NC=

1

2

BC，
又∵AB=AC-BC，NM=MC-NC，
∴MN=

1

2

（AC-BC）=

b

2

；


（4）如图，只要满足点C在线段AB所在直线上，点M、N分别是AC、BC的中点．那么MN就等于AB的一半．

点评：利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．