Question

已知抛物线y＝ax²＋c的顶点为D(0，)，且过点A(1，)，如图所示．

(1)试求这条抛物线的代数表达式；

(2)点F是坐标原点O关于该抛物线顶点D的对称点，坐标为(0，)，我们可以用以下方法求线段FA的长度：过点A作AA₁⊥x轴，过F作x轴的平行线交AA₁于点A₂，则FA₂＝1，A₂A＝－＝．在Rt△AFA₂中，有FA＝＝．

已知抛物线上另一点B的横坐标为2，求线段FB的长．

(3)若点P是该抛物线上在第一象限内的任意一点，试探究线段FP的长度与点P的纵坐标的大小关系，并证明你的猜想．

Answer 1

答案：
解析：

[答案](1)由已知，得 　　解这个方程组，得 　　∴该抛物线的代数表达式为y＝2x2＋． 　　(2)当x＝2时，y＝2×22＋＝． 　　即点B的坐标为(2，)． 　　如图，过B作BB1⊥x轴于点B1，过F作FB2∥x轴交BB1于点B2，则FB2＝2，BB2＝－＝． 　　在Rt△BFB2中，FB＝＝． 　　(3)相等 　　设P点的坐标为(x，y)，则x＞0，y＞0，且y＝2x2＋． 　　过P作PP1⊥x轴于P1，过F作FP2∥x轴交PP1于点P2，则FP2＝x，PP2＝y－＝2x2＋－＝2x2－ 　　在Rt△PFP2中，FP＝＝＝2x2＋＝y． 　　∴抛物线在第一象限内的任意一点P到点F的距离等于这一点P的纵坐标． 　　[剖析]由FA、FB的长，可获得第(3)问的猜想，从FA、FB的长的求解过程可发现，求长的关键是要知道该点的坐标，故可先设出P点坐标(由于P点在第一象限，故x＞0，y＞0，然后用x的代数式表示FP的长度，最后由y与x的关系获得FP与y的关系．

提示：

[方法提炼] 　　通过阅读、理解，获得一种新的方法，然后运用新方法解决问题．另外还要注意从结论和过程两个角度进行归纳，以获得一般性的结论和解法．