Question

已知锐角△ABC内接于圆O，作△ABC的BC边上的高，CA边上的中线，∠C的平分线并延长，分别交圆O于A′、B′、C′．
求证：S_△ABC≤S_△A'BC+S_△AB'C+S_△ABC′．

Answer 1

分析：首先设△ABC中，CA，AB上的高的延线分别交△ABC外接圆于B″、C″，垂心为P，利用垂心的性质，可得
S_△ABC=S_△A′BC+S_△AB″C+S_△ABC″，在分别设P为外心，重心，内心，则可得：S_△ABC≤S_△A'BC+S_△AB'C+S_△ABC'．

解答：证明：如图所示，
①
设△ABC中，CA，AB上的高的延线分别交△ABC外接圆于B₁、C₁，
则P为△ABC的垂心，则有S_△ABC=S_△A′BC+S_△AB1C+S_△ABC1，
②
设△ABC中，BC，AB上的中线的延线分别交△ABC外接圆于A₂、C₂，
若P为△ABC的重心，则有 S_△ABC≤S_△A2BC+S_△AB′C+S_△ABC2，
③
设△ABC中，∠ABC，∠CAB上的中线的延线分别交△ABC外接圆于B₃、A₃，
若P为△ABC的内心，则有 S_△ABC≤S_△A3BC+S_△AB′3C+S_△ABC′，当且仅当△ABC为正三角形时等号成立．
∴S_△ABC≤S_△A'BC+S_△AB'C+S_△ABC'．

点评：此题考查了三角形的内心与垂心以及重心的性质．解此题的关键是注意三角形“四心”与一组面积公式的应用．