Question

如图所示，A、B两村庄位于河流（直线L）的两侧．
（1）为促进两村民相互交往，A、B两村村委会商议，在河上架一座桥，然后各村都修一条通往桥的公路．请问桥架在何处，才能使修路和架桥总造价最低？（要求：在河上标出架桥位置，并写出所依据的数学原理．）
（2）A村决定，把河流L中的水引到村子，以方便村民用水和灌溉农田．怎样修建引水渠，才能使引水渠最短？请你帮助A村画出饮水线路图，并写出所依据的数学原理．

Answer 1

解：（1）如图，作BB'垂直于河岸L，使BB′等于河宽，
连接AB′，与河岸EF相交于P，作PD⊥L，
则PD∥BB′且PD=BB′，
于是四边形PDBB′为平行四边形，故PD=BB′．
根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AP+BD最短；

（2）如图，AM即为所求线段．
分析：（1）虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸．关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办法使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的；
（2）根据从直线外一点到直线上各点所连的线段中垂线段最短，画出过点A的垂线段即可．
点评：（1）考查了轴对称---最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．
（2）考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短在生活中的应用．