Question

请先画一个直角三角形ABC，使∠C=90°，再画两锐角∠A，∠B的角平分线AO、BO交于点O．
（1）请计算∠AOB的度数；
（1）经过点O画直线DE∥AB交AC于点D，交BC于点E；其中有两个等腰三角形，找一个出来加以说明．

Answer 1

解：（1）Rt△ABC如图所示，
∵∠C=90°，
∴∠ABC+∠BAC=180°-90°=90°，
∵AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的平分线，
∴∠OAB=∠BAC，∠OBA=∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA=（∠ABC+∠BAC）=×90°=45°，
在△AOB中，∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=180°-45°=135°；

（2）等腰三角形有△BOE和△AOD．
以证明△AOD为例：
∵AO是∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠DAO，
∵DE∥AB，
∴∠BAO=∠AOD，
∴∠AOD=∠DAO，
∴AD=OD，
即△AOD是等腰三角形．
分析：（1）先过一点作一直线的垂线，作出直角三角形，再根据角平分线的作法作出角平分线得到交点O，根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠OAB+∠OBA，在△AOB中，利用三角形内角和定理列式进行计算即可得解；
（2）等腰三角形有△BOE和△AOD，根据角平分线的定义以及平行线的性质求出∠AOD=∠DAO，然后利用等角对等边的性质即可证明．
点评：本题考查了复杂作图，主要利用了过一点作已知直线的作法，角的平分线的作法，三角形的内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定，综合题，但难度不大．