Question

18．如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，AE平分∠BAC，∠CDA=45°．求证：AD⊥BD．

Answer 1

分析 过C点作CF⊥CD交AD于F，证明△ACF≌△BCD，进而可得∠AFC=∠BDC，从而求得∠ADB的度数．

解答 证明：C点作CF⊥CD交AD于F：
∵∠CDF=45°，
∴CF=CD，
∵∠ACF+∠FCE=∠BCD+∠FCE=90°，
∴∠ACF=∠BCD，
在△ACF和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACF=∠BCD}\\{CF=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCD，
∴∠BDC=∠AFC=135°，
∴∠ADB=135°-45°=90°．
∴AD⊥BD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、正确的作出辅助线是解题的关键．