Question

17．如图在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．
（1）求证：∠BCP=∠BAN；
（2）求证：AM•BP=CB•MN．

Answer 1

分析 （1）先根据圆周角定理得出AN⊥BC，再由等腰三角形的性质得出∠1=∠2，根据切线的性质得出CP⊥AC，故∠3+∠4=90°，利用等量代换可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质得出∠3=∠5，再由圆内接四边形的性质得出∠3+∠AMN=180°，故可得出∠AMN=∠CBP．根据∠2=∠4得出△AMN∽△CBP，由相似三角形的性质即可得出结论．

解答 证明：（1）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ANC=90°，
∴AN⊥BC．
又∵AB=AC，
∴∠1=∠2．
∵CP切⊙O于点C，
∴CP⊥AC，
∴∠3+∠4=90°．
∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠4，
∴∠2=∠4  即∠BCP=∠BAN；

（2）∵AB=AC，
∴∠3=∠5．
又∵四边形AMNC为⊙O的内接四边形，
∴∠3+∠AMN=180°．
 又∵∠5+∠CBP=180°，
∴∠AMN=∠CBP．
又∵∠2=∠4，
∴△AMN∽△CBP，
∴$\frac{AM}{MN}$=$\frac{CB}{BP}$，即AM•BP=MN•CB．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知圆内接四边形的性质、切线的判定与性质等知识是解答此题的关键．