Question

【题目】如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：

①S1+S2=S3+S4② S2+S4= S1+ S3

③若S3=2S1，则S4=2S2④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上

其中正确的结论的序号是 ▲ （把所有正确结论的序号都填在横线上）.

Answer 1

【答案】②④。

【解析】

如图，过点P分别作四个三角形的高，

∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，

∴此时两三角形的高的和为AB，

∴S1+S3=S矩形ABCD；

同理可得出S2+S4=S矩形ABCD。

∴②S2+S4= S1+ S3正确，

则①S1+S2=S3+S4错误

若S3=2S1，只能得出△APD与△PBC高度之比，S4不一定等于2S2；故结论③错误

如图，若S1=S2，则×PF×AD=×PE×AB，

∴△APD与△PBA高度之比为：PF：PE =AB：AD 。

∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四边形AEPF是矩形，

∴矩形AEPF∽矩形ABCD

连接AC

∴PF：CD =PE：BC=AP：AC，

即PF：CD =AF ：AD=AP：AC。

∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD

∴点A、P、C共线

∴P点在矩形的对角线上

故结论④正确。

综上所述，结论②和④正确。