Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH＝．

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E，F，若 时，求点P的坐标；

（3）将（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为（1）中的抛物线上的一动点，直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使△ANG 与△ADM相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG的解析式；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1） y=- （x-2）2+4．（2） P（0，2），P（0，-2）．（3） y=4x+或y=-．

【解析】

试题分析：（1）由抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH=，求出c的值，进而求出抛物线方程；

（2）如图1，由OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH，可证△OEH∽△HFM，可知HE，HF的比例关系，求出P点坐标；

（3）首先求出D点坐标，写出直线MD的表达式，由两直线平行，两三角形相似，可得NG∥MD，直线QG解析式．

试题解析：（1）∵M为抛物线的顶点，

∴M（2，c）．

∴OH=2，MH=|c|．

∵a＜0，且抛物线与x轴有交点，

∴c＞0，

∴MH=c，

∵sin∠MOH=，

∴．

∴OM=c，

∵OM2=OH2+MH2，

∴MH=c=4，

∴M（2，4），

∴抛物线的函数表达式为：y=-（x-2）2+4．

（2）如图1，∵OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH，

∴∠EHO=∠FMH，∠OEH=∠HFM．

∴△OEH∽△HFM，

∴，

∵，

∴MF=HF，

∴∠OHP=∠FHM=45°，

∴OP=OH=2，

∴P（0，2）．

如图2，同理可得，P（0，-2）．

（3）∵A（-1，0），

∴D（1，0），

∵M（2，4），D（1，0），

∴直线MD解析式：y=4x-4，

∵ON∥MH，∴△AON∽△AHM，

∴，

∴AN=，ON=，N（0，）．

如图3，若△ANG∽△AMD，可得NG∥MD，

∴直线QG解析式：y=4x+，

如图4，若△ANG∽△ADM，可得

∴AG=，

∴G（，0），

∴QG：y=-，

综上所述，符合条件的所有直线QG的解析式为：y=4x+或y=-．