Question

（2012•达州）【问题背景】
若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值．我们可以设矩形的一边长为x，面积为s，则s与x的函数关系式为：s=-x2+

1

2

x(x＞0），利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值．
【提出新问题】
若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？
【分析问题】
若设该矩形的一边长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为：y=2(x+

1

x

)（x＞0），问题就转化为研究该函数的最大（小）值了．
【解决问题】
借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数y=2(x+

1

x

)（x＞0）的最大（小）值．
（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数y=2(x+

1

x

)（x＞0）的图象：

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…								…

（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当x=

1

时，函数y=2(x+

1

x

)（x＞0）有最

小

值（填“大”或“小”），是

4

．
（3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数s=-x2+

1

2

x(x＞0）的最大值，请你尝试通过配方求函数y=2(x+

1

x

)（x＞0）的最大（小）值，以证明你的猜想．〔提示：当x＞0时，x=(

x

)2〕

Answer 1

分析：（1）分别把表中x的值代入所得函数关系式求出y的对应值填入表中，并画出函数图象即可；
（2）根据（1）中函数图象的顶点坐标直接得出结论即可；
（3）利用配方法把原式化为平方的形式，再求出其最值即可．

解答：解：（1）

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…	8 1 2	6 2 3	5	4	5	6 2 3	8 1 2	…

（2）由函数图象可知，其顶点坐标为（1，4），故当x=1时函数有最小值，最小值为4，
故答案为：1、小、4；

（3）证明：
y=2[（

x

）²+

1

( x )2

]
=2[（

x

）²-2+

1

( x )2

+2]
=2（

x

-

1

x

）²+4
当

x

-

1

x

=0时，y的最小值是4，即x=1时，y的最小值是4．

点评：本题考查的是二次函数的最值及配方法的应用，能利用数形结合求解是解答此题的关键．