Question

1．如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠BCD=270°，连结AC，点E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，连结EF、FG，分别将AD、BC作为边长，向外作正方形．若这两个正方形的面积和为12cm²，则EF的长度为$\sqrt{3}$cm．

Answer 1

分析 如图，连接EG，延长AD、BC交于点M．首先证明AM⊥BM，再证明EG⊥GF，根据EF=$\sqrt{E{G}^{2}+G{F}^{2}}$以及EG²+GF²=$\frac{1}{4}$（AD²+BC²）计算即可解决问题．

解答 解：如图，连接EG，延长AD、BC交于点M．

∵∠ADC+∠BCD=270°，
∴∠MAB+∠B=360°-270°=90°，
∴∠M=90°，
∴AM⊥BM，
∵AE=EB，AG=GC，
∴EG∥BM，EG=$\frac{1}{2}$BC，
∵AG=CG，CF=DF，
∴GF∥AM，GF=$\frac{1}{2}$AD，
∴EG⊥GF，
∴△EGF是直角三角形，
∵AD²+BC²=12，
∴EG²+GF²=$\frac{1}{4}$（AD²+BC²）=3，
∴EF=$\sqrt{E{G}^{2}+G{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$cm，
故答案为$\sqrt{3}$cm．

点评 本题考查三角形中位线定理、正方形的性质、勾股定理、四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，解题的突破点是发现△EGF是直角三角形，属于中考常考题型．