【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,⊙C经过坐标原点O,且与x轴,y轴分别相交于M(4,0),N(0,3)两点.已知抛物线开口向上,与⊙C交于N,H,P三点,P为抛物线的顶点,抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D.
(1)求线段CD的长及顶点P的坐标;
(2)求抛物线的函数表达式;
(3)设抛物线交x轴于A,B两点,在抛物线上是否存在点Q,使得S四边形OPMN=8S△QAB , 且△QAB∽△OBN成立?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:如图,连接OC,
∵M(4,0),N(0,3),
∴OM=4,ON=3,
∴MN=5,
∴OC= MN= ,
∵CD为抛物线对称轴,
∴OD=MD=2,
在Rt△OCD中,由勾股定理可得CD= = = ,
∴PD=PC﹣CD= ﹣ =1,
∴P(2,﹣1);
(2)
解:∵抛物线的顶点为P(2,﹣1),
∴设抛物线的函数表达式为y=a(x﹣2)2﹣1,
∵抛物线过N(0,3),
∴3=a(0﹣2)2﹣1,解得a=1,
∴抛物线的函数表达式为y=(x﹣2)2﹣1,即y=x2﹣4x+3
(3)
解:在y=x2﹣4x+3中,令y=0可得0=x2﹣4x+3,解得x=1或x=3,
∴A(1,0),B(3,0),
∴AB=3﹣1=2,
∵ON=3,OM=4,PD=1,
∴S四边形OPMN=S△OMP+S△OMN= OMPD+ OMON= ×4×1+ ×4×3=8=8S△QAB,
∴S△QAB=1,
设Q点纵坐标为y,则 ×2×|y|=1,解得y=1或y=﹣1,
当y=1时,则△QAB为钝角三角形,而△OBN为直角三角形,不合题意,舍去,
当y=﹣1时,可知P点即为所求的Q点,
∵D为AB的中点,
∴AD=BD=QD,
∴△QAB为等腰直角三角形,
∵ON=OB=3,
∴△OBN为等腰直角三角形,
∴△QAB∽△OBN,
综上可知存在满足条件的点Q,其坐标为(2,﹣1)
【解析】(1)连接OC,由勾股定理可求得MN的长,则可求得OC的长,由垂径定理可求得OD的长,在Rt△OCD中,可求得CD的长,则可求得PD的长,可求得P点坐标;(2)可设抛物线的解析式为顶点式,再把N点坐标代入可求得抛物线解析式;(3)由抛物线解析式可求得A、B的坐标,由S四边形OPMN=8S△QAB可求得点Q到x轴的距离,且点Q只能在x轴的下方,则可求得Q点的坐标,再证明△QAB∽△OBN即可.
【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本,需要知道增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
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【题目】如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,在下列说法中:
①ac<0;
②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1,x2=3;
③a+b+c>0;
④当x>1时,y随着x的增大而增大.
正确的说法有 . (请写出所有正确的序号)
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点E、F分别在边CD、AB上.
(1)若DE=BF,求证:四边形AFCE是平行四边形;
(2)若四边形AFCE是菱形,求菱形AFCE的周长.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等
B.在平面直角坐标系中,不同的坐标可以表示同一点
C.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)一定有实数根
D.将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE,则△ABC与△ADE不全等
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【题目】如图,矩形ABCD中,∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)当∠ABE为多少度时,四边形BEDF是菱形?请说明理由.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,给出下列结论: ①b2=4ac;②abc>0;③a>c;④4a﹣2b+c>0,其中正确的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】随着交通道路的不断完善,带动了旅游业的发展,某市旅游景区有A、B、C、D、E等著名景点,该市旅游部门统计绘制出2017年“五一”长假期间旅游情况统计图,根据以下信息解答下列问题:
(1)2017年“五一”期间,该市周边景点共接待游客万人,扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是 , 并补全条形统计图.
(2)根据近几年到该市旅游人数增长趋势,预计2018年“五一”节将有80万游客选择该市旅游,请估计有多少万人会选择去E景点旅游?
(3)甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中,同时选择去同一景点的概率是多少?请用画树状图或列表法加以说明,并列举所用等可能的结果.
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【题目】如图,OA⊥OB,等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上,∠ECD=45°,将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°,点E的对应点N恰好落在OA上,则 的值为( )
A.
B.
C.
D.
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