Question

10．方程3x²-x-1=0的两根是x₁，x₂，求下列式子的值：
（1）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$；  
（2）x₁²+x₂²．

Answer 1

分析 由于方程3x²-x-1=0的两个实数根为x₁，x₂，所以直接利用根与系数的关系即可得到两根之和和两根之积，然后代入化简后的代数式即可得到结果．

解答 解：∵方程3x²-x-1=0的两根是x₁，x₂，
∴x₁₊x₂=$\frac{1}{3}$，x_1•x₂=-$\frac{1}{3}$，
（1）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}}$=-1；
（2）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（$\frac{1}{3}$）²-2×（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{7}{9}$．

点评 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．