Question

【题目】大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可 以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰 三角形 ABC中，AB=AC，其一腰上的高为h，M 是底边BC上的任意一点，M 到腰AB、AC 的距离分别为 h1、h2 ．

（1）请你结合图形来证明： h1+h2=h；

（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h 之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直

接写出结论不必证明；

（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=x+3，l2：y=-3x+3

若 l2上的一点M 到l1的距离是，求点 M 的坐标.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）h1﹣h2=h；（3）点 M 的坐标为 M（，）或（﹣，）．

【解析】

（1）根据S△ABC=S△ABM+S△AMC即可求出答案；

（2）h1-h2=h；

（3）先求得△ABC为等腰三角形，再根据（1）（2）的结果分①当点M在BC边上时，②当点M在CB延长线上时，求得M的坐标．③当点M在BC的延长线上时，h1=＜h，不存在.

（1）证明：连接 AM，

由题意得 h1=ME，h2=MF，h=BD，

∵S△ABC=S△ABM+S△AMC，

S△ABM=×AB×ME=×AB×h1，

S△AMC=×AC×MF=×AC×h2，

又∵S△ABC=×AC×BD=×AC×h，AB=AC，

∴×AC×h=×AB×h1+×AC×h2，

∴h1+h2=h．

（2）如图所示：

h1﹣h2=h．

（3）解：在 y=x+3 中，令 x=0 得 y=3；令 y=0 得 x=﹣4，所以 A（﹣4，0），B（0，3）

同理求得 C（1，0）．

AB==5，AC=5，所以 AB=AC，

即△ABC 为等腰三角形．

（ⅰ）当点 M 在 BC 边上时，由 h1+h2=h 得：+My=OB，My=3﹣=， 把它代入y=﹣3x+3 中求得：Mx=，所以此时 M（,）

（ⅱ）当点 M 在 CB 延长线上时，由 h1﹣h2=h 得：My﹣=OB，My=3+=，

把它代入 y=﹣3x+3 中求得：Mx=﹣， 所以此时 M（﹣，）．

综合（ⅰ）、（ⅱ）知：点 M 的坐标为 M（，）或（﹣，）．