Question

【题目】如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P，Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP＋PQ＋QN最小时，则β－α的值为（ ）

A.19°B.40°C.9°D.29

Answer 1

【答案】B

【解析】

作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，交OA于点Q，交OB于点P，则MP+PQ+QN最小，根据轴对称的性质以及平角的定义可得∠OPM=(180°-α)，再根据三角形外角的性质可得∠1=110°-α，同样根据平角的定义可得∠3=(180°-β)，由对顶角性质可得∠MQP=(180°-β)，根据三角形内角和定理可得∠1+∠MPQ+∠MQP=180°，即110°-α+α+(180°-β)=180°，整理即可求得答案.

如图，作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，交OA于点Q，交OB于点P，则MP+PQ+QN最小，

∵∠MPM′+∠MPQ=180°，∠OPM=∠OPM′，∠OPM+∠OPM′=∠MPM，∠MPQ=α，

∴∠OPM=(180°-α)，

∵∠1=∠O+∠OPM，

∴∠1=20°+(180°-α)=110°-α，

∵∠2=∠3，∠2+∠3+∠MQN=180°，∠PQN=β，

∴∠3=(180°-β)，

∴∠MQP=∠3=(180°-β)，

在△PMQ中，∠1+∠MPQ+∠MQP=180°，

即110°-α+α+(180°-β)=180°，

∴β-α=40°，

故选B.