Question

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（$\frac{5}{2}$，2），B（4，0）
（1）求直线AB的表达式；
（2）在x轴上找出所有的点C，使△ABC是以线段AB为腰的等腰三角形；
（3）是否存在点P、Q，满足点P在x轴上，点Q在y轴上，且以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，试求出点P、Q的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，①当AB=AC时，②当BC′=BA或BC″=BA时，画出图形即可解决问题．
（3）如图2中，存在．分两种情形讨论即可．①当AB为平行四边形的边时，②当AB为平行四边形的对角线时，分别求出P、Q坐标即可．

解答 解：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，把点A（$\frac{5}{2}$，2），B（4，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}k+b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$．

（2）如图1中，

①当AB=AC时，点C坐标（1，0）．
②当BC′=BA或BC″=BA时，
∵AB=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴点C′（$\frac{13}{2}$，0），C″（$\frac{3}{2}$，0），
综上所述，当△ABC是以线段AB为腰的等腰三角形时，点C坐标为（1，0）或（$\frac{13}{2}$，0）或（$\frac{3}{2}$，0）．

（3）如图2中，存在．

①当AB为平行四边形的边时，P₁（$\frac{3}{2}$，0），Q₁（0，2）或P₃（-$\frac{3}{2}$，0），Q₃（0，-2）．
②当AB为平行四边形的对角线时，P₂（$\frac{13}{2}$，0），Q₂（0，2）．

点评 本题考查一次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题，属于中考常考题型．