Question

如图所示，平面直角坐标系中，四边形OABC内接于半圆，其中OA为直径，弦AB=OC=3cm，∠OAB=60°，P点从O点出发，以2cm/s的速度向A运动；同时，Q从A点出发，沿边AB向B以1cm/s的速度运动．
（1）求运动x秒后Q点的坐标（用含x的式子表示）．
（2）是否存在x，使得PQ∥OB？若存在，则求出x的值；若不存在，说明理由．
（3）求BC的长．
（4）当P、Q运动时，写出五边形OPQBC的面积y与时间x之间的函数关系式，并写出x的取值范围（不包括点P在O、A两点时的情况）．求出五边形OPQBC的面积的最小值及此时x的值？

Answer 1

分析：（1）连接OB，由OA为直径得∠OBA=90°，根据AB=3cm，∠OAB=60°得到OA=6，作QE⊥OA于点E分别表示出QE和AE，就可以表示出运动x秒后Q点的坐标；
（2）要使PQ∥OB，只需利用平行线分线段成比例定理得到

AP

AO

=

AQ

AB

，据此可以求得x的值；
（3）先证明四边形OABC为梯形，利用等弧所对的圆周角相等得到∠CBA=∠BOA，进而得到BC∥OA，判定四边形OABC为梯形．再根据AB=OC判定四边形OABC为等腰梯形．
（4）利用y=S_OABC-S_△APQ表示出y与x之间的二次函数关系求最值即可．

解答：解：（1）如图，连接OB，
∵OA为直径，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=3cm，∠OAB=60°，
∴OA=6，
作QE⊥OA于点E，
则AQ=x，QE=

3

2

x，AE=

1

2

x，
∴运动x秒后Q点的坐标为（6-

x

2

，

3

2

x）；（4分）

（2）要使PQ∥OB，只需

AP

AO

=

AQ

AB

，
即

6-2x

6

=

x

3

，
∴x=1.5秒，
答：存在x=1.5，使得PQ∥OB．（8分）

（3）先证明四边形OABC为梯形，（否则扣2分）
∵OC=AB，
∴

OC

=

AB

，
∴∠CBO=∠BOA（等弧所对的圆周角相等），
∴BC∥OA，
又∵BC＜OA，
∴四边形OABC为梯形．
又∵AB=OC，
∴四边形OABC为等腰梯形．
作BF⊥OA于F，则AF=1.5，
∴BC=6-2×1.5=3（cm）；（12分）

（4）由（3）问可知，BF=

3

2

3

cm，
∴y=S_OABC-S_△APQ，
=

1

2

(3+6)×

3

2

3

-

1

2

(6-2x)×

3

2

x，
=

3

2

x2-

3 3

2

x+

27 3

4

（0＜x＜3），（14分）
∴y=

3

2

(x-

3

2

)2+

45 3

8

，
∴当x=

3

2

时，y有最小值

45 3

8

cm²．（16分）

点评：本题考查了圆周角定理平行线分线段成比例定理的知识，特别是题目中的动点问题更是中考的常见考点，难度较大．