Question

二次函数y=x²-4x-5与x轴交于点A与点B，与y轴交于点C，且点A坐标为（-1，0），点E是抛物线上一动点，且在抛物线的对称轴的右侧，当点A与点E到直线BC的距离相等时，求点E的坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：首先求出A、B、C三点的坐标；运用点到直线的距离公式列出关于点E的坐标m、n的方程，求出m、n即可解决问题．

解答：解：∵当y=0时，x²-4x-5=0，
解得：x=-1或5；
当x=0时，y=-5，
∴A（-1，0）、B（5，0）、C（0，-5）；
∴直线BC的方程为x-y-5=0，
设点A、点E到直线BC的距离分别为λ、μ；点E的坐标为（m，n）；
则λ=

|-1-0-5|

12+12

=3

2

，μ=

|m-n-5|

12+12

；
∵点A与点E到直线BC的距离相等，
∴λ=μ，故|m-n-5|=6；
∵点E是抛物线上一动点，
∴|m-m²+4m+5-5|=6，即-m²+5m=±6，
解得：m=2或3或-1或6；
∵抛物线的对称轴为x=2，且点E在抛物线的对称轴的右侧，
∴m=3或6；此时n=9-12-5=-8或n=36-24-5=7，
∴点E的坐标为（3，-8）、（6，7）．

点评：该题主要考查了抛物线与x轴的交点坐标及其应用问题；解题的关键是根据题意，运用点到直线的距离公式，列出关于点E的坐标m、n的方程．借助方程的知识来分析、判断、解答．