Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．
（1）求证：AE=BF；
（2）若BC=

2

cm，求正方形DEFG的边长．

Answer 1

分析：（1）要证明AE=BF，只要证明三角形BGF和三角形ADE全等即可；
（2）直角三角形BFG中，∠B=∠=45°，有BC的长，那么正方形的边长就可以求出来了．

解答：（1）证明：∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A=∠B．
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=GF，∠DEA=∠GFB=90°．
∴△ADE≌△BGF．
∴AE=BF．

（2）解：∵∠DEA=90°，∠A=45°，
∴∠ADE=45°．
∴AE=DE，同理BF=GF，又AB=

2

BC，
∴EF=AE=BF=

1

3

AB=

1

3

×

2

BC=

1

3

×

2

×

2

=

2

3

（cm）．
∴正方形DEFG的边长为

2

3

cm．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定和正方形的性质等知识点．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．