如图1.已知直线y=$\frac{2}{5}$x+2与x轴交于点A.与y轴交于点C.抛物线y=ax2+4ax+b经过A．C两点.且与x轴交于另一点B．(1)求抛物线的解析式,(2)若点Q在抛物线上.且△AQC与△BQC面积相等.求点Q的坐标,(3)如图2.P为△AOC外接圆上弧ACO的中点.直线PC交x轴于点D.∠EDF=∠ACO.当∠EDF绕点D旋转时.DE交直线AC于点M.DF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

3．如图1，已知直线y=$\frac{2}{5}$x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax²+4ax+b经过A．C两点，且与x轴交于另一点B．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点Q在抛物线上，且△AQC与△BQC面积相等，求点Q的坐标；
（3）如图2，P为△AOC外接圆上弧ACO的中点，直线PC交x轴于点D，∠EDF=∠ACO，当∠EDF绕点D旋转时，DE交直线AC于点M，DF交y轴负半轴于点N．请你探究：CN-CM的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．

分析（1）先求得点A和点C的坐标，然后将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式求得a、b的值即可；
（2）先求得点B的坐标，当Q在直线AC上方的抛物线上时．△ACQ和△BCQ为同底的三角形，则QC∥AB，依据抛物线的对称性质可求得点Q的坐标；当Q在直线AC下方的抛物线上时．设直线CQ与x轴于点L，由△ACQ的面积等于△BCQ的面积，可知AL=BL，然后求得CL的解析式，最后求得LC与抛物线的交点坐标即可；
（3）设△AOC的外接圆圆心为S，连接SP，作∠NDR=∠PDE，交y轴于点R，先证明△SCP∽△DCR，则CD=DR，依据等腰三角形三线合一的性质可知OC=OR=2．然后再证明△DCM≌△DRN，则CM=RN，最后证明CN-CM=CR即可．

解答解：（1）把x=0代入直线的解析式得：y=2，
∴C（0，2）．
把y=0代入直线的解析式得：$\frac{2}{5}$x+2=0，解得：x=-5，
∴A（-5，0）．
将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{25a-20a+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{5}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{2}{5}$x²-$\frac{8}{5}$x+2．

（2）令y=0得：-$\frac{2}{5}$x²-$\frac{8}{5}$x+2=0，解得x=1或x=-5，
∴B（1，0）．
如图1所示：当Q在直线AC上方的抛物线上时．

∵△ACQ和△BCQ为同底的三角形，且它们的面积相等，
∴点A和点B到直线CQ的距离相等．
∴QC∥AB．
∵抛物线的对称轴为x=-2，
∴点Q与点C关于x=-2对称，
∴Q（-4，2）．
如图2所示：当Q在直线AC下方的抛物线上时．

设直线CQ与x轴于点L，则△ACQ的面积=$\frac{1}{2}$AL•|y_C-y_Q|，△BCQ的面积=$\frac{1}{2}$BL•|y_C-y_Q|．
∵△ACQ的面积等于△BCQ的面积，
∴AL=BL．
∴L（-2，0）．
设直线LC的解析式为y=kx+b，将点C和点L的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，解得k=1，b=2．
∴直线CL的解析式为：y=x+2．
将y=x+2与y=-$\frac{2}{5}$x²-$\frac{8}{5}$x+2联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{5}{x}^{2}-\frac{8}{5}x+2}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{13}{2}}\\{y=-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴Q（-$\frac{13}{2}$，-$\frac{9}{2}$）．
综上所述，存在两个符合条件的点：Q（-4，2）或Q（-$\frac{13}{2}$，-$\frac{9}{2}$）．

（3）如图3所示：

设△AOC的外接圆圆心为S，连接SP，作∠NDR=∠PDE，交y轴于点R，则∠PDR=∠MDN=∠ACO，
∵P是弧ACO的中点，
∴SP平行于y轴，
∴∠PSC=∠ACO=∠CDR，∠SPC=∠RCD，
∴△SCP∽△DCR．
∴△DCR也是等腰三角形，即CD=DR；
又∵DO⊥CR，
∴OC=OR=2．
∴CR=4．
∵∠PCS=∠DRC，
∴∠DCM=∠DRN．
在△DCM和△DRN中$\left\{\begin{array}{l}{∠DCM=∠DRN}\\{CD=DR}\\{∠CDM=NDR}\end{array}\right.$，
∴△DCM≌△DRN．
∴CM=RN．
∴CN-CM=CN-RN=CR=4．

点评本题主要考查的是二次函数的综合应用解答本题主要应用了二次待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，作∠NDR=∠PDE，构造△DRN，并证明△DCM≌△DRN是解题的关键．

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