Question

如图，AB是⊙O的直径，C，P是

AB

上两点，AB=13，AC=5．
（1）如图（1），若点P是

AB

的中点，求PA的长；
（2）如图（2），若点P是

BC

的中点，求PA的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理

专题：几何综合题

分析：（1）根据圆周角的定理，∠APB=90°，p是弧AB的中点，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．
（2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，从而得出△ACB∽△0NP，根据对应边成比例求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得PA．

解答：解：（1）如图（1）所示，连接PB，

∵AB是⊙O的直径且P是

AB

的中点，
∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，
又∵在等腰三角形△APB中有AB=13，
∴PA=

AB

2

=

13

2

=

13 2

2

．

（2）如图（2）所示：连接BC．OP相交于M点，作PN⊥AB于点N，

∵P点为弧BC的中点，
∴OP⊥BC，∠OMB=90°，
又因为AB为直径
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠OMB，
∴OP∥AC，
∴∠CAB=∠POB，
又因为∠ACB=∠ONP=90°，
∴△ACB∽△0NP
∴

AB

OP

=

AC

ON

，
又∵AB=13 AC=5 OP=

13

2

，
代入得 ON=

5

2

，
∴AN=OA+ON=9
∴在Rt△OPN中，有NP²=0P²-ON²=36
在Rt△ANP中 有PA=

AN2+NP2

=

117

=3

13

∴PA=3

13

．

点评：本题考查了圆周角的定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线是本题的关键．