Question

【题目】如图1矩形ABCD中，点E是CD边上的动点（点E不与点C，D重合），连接AE，过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，点G为EF的中点，连接BG．

（1）求证：△ADE∽△ABF；

（2）若AB＝20，AD＝10，设DE＝x，点G到直线BC的距离为y．

①求y与x的函数关系式；②当时，x的值为　 　；

（3）如图2，若AB＝BC，设四边形ABCD的面积为S，四边形BCEG的面积为S1，当时，DE：DC的值为　 　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①，②；（3）.

【解析】

（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明．

（2）①如图1中，作GH⊥BF于H．利用三角形的中位线定理，推出EC＝2y，再根据DE+EC＝20，即可解决问题．

②由，可以假设EC＝24k，BG＝13k，利用相似三角形的性质构建方程求出k即可解决问题．

（3）如图2中，连接BE，设DE＝a，CD＝BC＝b．构建一元二次方程，即可解决问题．

解：（1）证明：如图1中，

∵AE⊥AF，

∴∠EAF＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠ABC＝∠ABF＝∠D＝90°，

∴∠EAF＝∠BAD，

∴∠FAB＝∠DAE，

∵∠ABF＝∠D＝90°，

∴△ADE∽△ABF．

（2）①如图1中，作GH⊥BF于H．

∵∠GHF＝∠C＝90°，

∴GH∥EC，

∵FG＝GE，

∴FH＝HC，

∴EC＝2GH＝2y，

∵DE+EC＝CD＝AB＝20，

∴x+2y＝20，

∴y＝﹣x+10（0＜x＜20）．

②∵，

∴可以假设EC＝24k，BG＝13k，

∵EC＝2GH，

∴GH＝12k，

∴

∴FH＝CH＝5k+10，

∴FB＝10k+10，

∵

∴x＝20﹣24k，

∵△ADE∽△ABF，

∴

∴

∴k＝

∴x＝

故答案为：

（3）如图2中，连接BE，设DE＝a，CD＝BC＝b．

易证△ADE≌△ABF，可得BF＝DE＝a，

∴

∵S＝b2，S＝4S1，

∴b2＝2b2﹣a2﹣ab，

∴a2+ab﹣b2＝0，

∴

∴或（舍弃），

∴

故答案为: