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如图1,点C、B分别为抛物线C1:y1=x2+1,抛物线C2:y2=a2x2+b2x+c2的顶点.分别过点B、C作x轴的平行线,交抛物线C1、C2于点A、D,且AB=BD.

1.求点A的坐标:

2.如图2,若将抛物线C1:“y1=x2+1”改为抛物线“y1=2x2+b1x+c1”.其他条件不变,求CD的长和a2的值;

3.如图2,若将抛物线C1:“y1=x2+1”改为抛物线“y1=4x2+b1x+c1”,其他条件不变,求b1+b2的值 2 (直接写结果).

 

【答案】

 

1.如图,连接AC、BC,设直线AB交y轴于点E,

∵AB∥x轴,CD∥x轴,C、B为抛物线C1、C2的顶点,

∴AC=BC,BC=BD,

∵AB=BD,

∴AC=BC=AB,

∴△ABC是等边三角形,

∴∠ACE=30°,

设AE=m,

则CE=AE=m,

∵y1=x2+1,

∴点C的坐标为(0,1),

∴点A的坐标为(﹣m,1+m),

∵点A在抛物线C1上,

∴(﹣m)2+1=1+m,

整理得m2m=0,

解得m1=,m2=0(舍去),

∴点A的坐标为(﹣,4);(3分)

2.如图2,连接AC、BC,过点C作CE⊥AB于点E,

设抛物线y1=2x2+b1x+c1=2(x﹣h12+k1

∴点C的坐标为(h1,k1),

设AE=m,

∴CE=m,

∴点A的坐标为(h1﹣m,k1+m),

∵点A在抛物线y1=2(x﹣h12+k1上,

∴2(h1﹣m﹣h12+k1=k1+m,

整理得,2m2=m,

解得m1=,m2=0(舍去),

由(1)同理可得,CD=BD=BC=AB,

∵AB=2AE=

∴CD=

即CD的长为

根据题意得,CE=BC=×=

∴点B的坐标为(h1+,k1+),

又∵点B是抛物线C2的顶点,

∴y2=a2(x﹣h12+k1+

∵抛物线C2过点C(h1,k1),

∴a2(h1﹣h12+k1+=k1

整理得a2=﹣

解得a2=﹣2,

即a2的值为﹣2;(3分)

3.根据(2)的结论,a2=﹣a1

CD=﹣﹣(﹣)=+=

根据(1)(2)的求解,CD=2×

∴b1+b2=2.(4分)

【解析】(1)连接AC、BC,根据二次函数图象的对称性可得AC=BC,BC=BD,再根据已知条件AB=BD,可以证明得到△ABC是等边三角形,所以∠ACE=30°,然后设AE=m,根据等边三角形的性质求出CE的长,再根据抛物线C1:y1=x2+1求出点C的坐标,从而表示出点A的坐标,然后把点A的坐标代入抛物线C1的解析式,然后解关于m的一元二次方程求出m的值,代入即可得到点A的坐标;

(2)过点C作CE⊥AB于点E,设抛物线y1=2x2+b1x+c1=2(x﹣h12+k1,然后表示出C的坐标,再设AE=m,根据等边三角形的性质求出CE的长度,从而得到点A的坐标,把点A的坐标代入抛物线C1,整理后解关于m的一元二次方程,再根据(1)的结论即可求出CD的长;根据CD的长求出CE的长度,然后表示出点B的坐标,根据点B在是抛物线C2的顶点,从而得到抛物线C2的顶点式解析式,然后根据点C在抛物线C2上,把点C的坐标代入抛物线C2的解析式,整理求解即可得到a2的值;

(3)根据(1)(2)的结论可知,a2=﹣a1,然后利用两抛物线的对称轴表示出CD的长度,再根据(1)(2)的求解过程可得CD=2×,然后代入进行计算即可得解.

 

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∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合.
∵∠ADC=∠B=90°,
∴∠FDG=180°,点F、D、G共线.
根据
SAS
SAS
,易证△AFG≌
△AEF
△AEF
,得EF=BE+DF.
(2)类比引申
如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系
∠B+∠D=180°
∠B+∠D=180°
时,仍有EF=BE+DF.
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(1)求点A的坐标:
(2)如图2,若将抛物线C1:“y1=x2+1”改为抛物线“y1=2x2+b1x+c1”.其他条件不变,求CD的长和a2的值;
(3)如图2,若将抛物线C1:“y1=x2+1”改为抛物线“y1=4x2+b1x+c1”,其他条件不变,求b1+b2的值
2
3
2
3
(直接写结果).

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