Question

已知：抛物线y=x²+（b-1）x-5．
（1）写出抛物线的开口方向和它与y轴交点的坐标；
（2）若抛物线的对称轴为直线x=1，求b的值，并画出抛物线的草图（不必列表）；
（3）如图，若b＞3，过抛物线上一点P（-1，c）作直线PA⊥y轴，垂足为A，交抛物线于另一点B，且BP=2PA，求这条抛物线所对应的二次函数解析式．

Answer 1

分析：（1）根据a值大于0，判断抛物线的开口向上，令x=0求出函数值y，就是抛物线与y轴的交点坐标；
（2）根据对称轴解析式列式求出b的值，从而得到抛物线解析式，再根据抛物线与坐标轴的交点与顶点坐标作出草图即可；
（3）先根据b＞3判断出点P在对称轴的左侧，然后根据BP=2PA求出点B的坐标，然后把点P、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求出b、c的值，即可写出该抛物线对应的二次函数解析式．[或者根据点BP的中点在抛物线的对称轴上，利用对称轴解析式列式进行计算求解b的值．]

解答：解：（1）∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，
当x=0时，y=0²+（b-1）×0-5=-5，
∴它与y轴的交点坐标为（0，-5）；

（2）抛物线的对称轴为x=1，
∴-

b

2a

=-

b-1

2×1

=1，
解得b=-1，
故抛物线的解析式为y=x²-2x-5；
图象如右；

（3）∵b＞3，
∴抛物线的对称轴x=-

b

2a

=-

b-1

2

＜-1，
∴对称轴在点P的左侧，
∵直线PA⊥y轴，且P（-1，c），BP=2PA，
∴点B的坐标为（-3，c），
把点B（-3，c）、P（-1，c）代入抛物线解析式y=x²+（b-1）x-5得，

9+(b-1)×(-3)-5=c 1+(b-1)×(-1)-5=c

，
解得

b=5 c=-8

，
∴抛物线所对应的二次函数解析式为y=x²+4x-5；
[或：∵点B（-3，c）、P（-1，c），
∴BP的中点（-2，c）在抛物线的对称轴上，
∴-

b

2a

=-

b-1

2

=-2，解得b=5．]

点评：本题是对二次函数的综合考查，抛物线的开口方向，与坐标轴的交点的求解，以及待定系数法求二次函数解析式，综合性题目但难度不大，只要仔细分析，认真计算便不难求解．