Question

如图，矩形ABCD中，AD＜AB，P、Q分别为AD、BC的中点．N为DC上的一点，△AND沿直线AN对折，点D恰好与PQ上的M点重合．若AD、AB分别为方程x²-6x+8=0的两根．
（1）求△AMN的外接圆的直径；
（2）四边形ADNM有内切圆吗？有则求出内切圆的面积，没有请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先解方程求出AD、AB，利用折叠前后图形不变得出AM=AD=2，以及得出∠NAM=30°，进而求出AN，即是Rt△AMN的外接圆直径；
（2）首先得出I所在位置，得出四边形IEDF为正方形，再利用三角形相似求出内切圆的半径．

解答：解：（1）x²-6x+8=0得x₁=2，x₂=4，

又AD、AB为方程的两根，AD＜AB，
∴AD=2，AB=4，
∴AM=AD=2，AP=1，
在Rt△AMP中，∠PAM=60°，
∴∠PMA=30°，
∴∠NAM=30°，
在Rt△AMN中，AN=

2

cos30°

=

4 3

3

，即Rt△AMN的外接圆直径为

4 3

3

．

（2）假设四边形ADNM有内切圆，由AN平分∠DAM知内切圆圆心必在AN上，
设为I，作IE⊥AD于E，IF⊥DC于F，则四边形IEDF为正方形，IE=IF=x，
∵Rt△AEI∽Rt△IFN，
∴

AE

AD

=

EI

DN

，
∴

2-x

2

=

x

2 3 3

，
∴x=

3

-1，
依题知点I到MN、AM的距离也为x，
∴点I为四边形的内切圆心，
其面积S=π（

3

-1）²=（4-2

3

）π．

点评：此题主要考查了一元二次方程的解法以及折叠图形的性质，以及三角函数知识和三角形内心知识，题目综合性较强，利用三角形相似求出内切圆半径是解决问题的关键．