Question

如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF=AD．若AF=3，tan∠ABD=

3

4

，求⊙O的直径．

Answer 1

考点：三角形的外接圆与外心,勾股定理,圆周角定理,解直角三角形

专题：

分析：如图，连接BE．利用等腰三角形“三线合一”的性质得到BF=BD；然后根据圆周角定理推知∠FBA=∠ABC=∠C=∠E，BE是⊙O的直径．利用锐角三角函数的定义可以来求BE的长度．

解答：解：如图，连接BE．
∵AF=AD，AB⊥EF，
∴BF=BD．
∵AB=AC，
∴∠FBA=∠ABC=∠C=∠E．
∵tan∠ABD=

3

4

，
∴tan∠E=tan∠FBA=

3

4

．
在Rt△ABF中，∠BAF=90°．
∵tan∠FBA=

AF

AB

=

3

4

，AF=3，
∴AB=4．
∵∠BAE=90°，
∴BE是⊙O的直径．
∵tan∠E=tan∠FBA=

3

4

，AB=4，
∴设AB=3x，AE=4x，
∴BE=5x，
∵3x=4，
∴BE=5x=

20

3

，
即⊙O的直径是

20

3

．

点评：本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理、圆周角定理和解直角三角形．利用圆周角定理推知BE是圆O的直径是解题的关键．