Question

已知二次函数y=kx²+（2k-1）x-1与x轴交点的横坐标为x₁、x₂（x₁＜x₂），则对于下列结论：①当x=-2时，y=1；②当x＞x₂时，y＞0；③方程kx²+（2k-1）x-1=0有两个不相等的实数根x₁、x₂；④x₁＜-1，x₂＞-1；⑤x₂-x₁=

1+4k2

k

，其中所有正确的结论是（　　）

A．①②③④⑤

B．①②③⑤

C．①③④

D．①③⑤

Answer 1

分析：直接根据抛物线与x轴的交点问题、根与系数的关系对各小题进行逐一分析即可．

解答：解：①当x=-2时，y=4k-2×（2k-1）-1=4k-4k+2-1=1，故本小题正确；
②若k＜0，当x＞x₂时，y＜0，故本小题错误；
③∵抛物线x轴交点的横坐标为x₁、x₂（x₁＜x₂），所以方程kx²+（2k-1）x-1=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，故本小题正确；
④∵抛物线与y轴的交点为（0，-1），且x₁＜x₂，∴x₁＜-1，x₂＞-1，故本小题正确；
⑤∵二次函数y=kx²+（2k-1）x-1与x轴交点的横坐标为x₁、x₂（x₁＜x₂），
∴x₁+x₂=

1-2k

k

，x₁•x₂=-

1

k

，
∴x₂-x₁=

(x2+x1)2-4x1x2

=

( 1-2k k )2+4× 1 k

=

1+4k2 k2

=

1+4k2

|k|

，故本小题错误．
故选C．

点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，熟知二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键．