练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知：如图，在边长为2的等边三角形△ABC中，点P以每秒1个单位从C向B运动，运动时间为t秒，且PQ=1，过P、Q点分别向BC作垂线，垂足分别为P、Q，交AC、AB于M、N，连接MN；
    （1）当t为何值时，四边形MPQN是矩形？
    （2）不管点P如何移动，四边形MPQN的面积是否改变，说明理由；
    （3）当t为何值时，△CMP与△AMN相似？这时△MNP是什么类型的三角形？
    分析：（1）由于四边形MPQN是矩形，所以在MPQN中PM=NQ，据此列出关于t的等式，解方程即可；
    （2）不管点P如何移动，四边形MPQN的面积不发生改变，根据（1）中所求PM、QN的表达式，利用梯形面积表达式即可求出S关于t的函数关系式，通过计算为定值；
    （3）根据对应点和对应边的不同，会得到不同的相似三角形，再分两种情况讨论．
    解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，PM⊥CB，QN⊥CB，
    ∴∠B=∠C=60°，
    在Rt△CPM和Rt△BQN中，
    ∵CP=t，BQ=1-t，
    ∴PM=CP•tanC=t•tan60°=
    		3
    t，
    QN=BQ•tanB=（1-t）tan60°=
    		3
    （1-t），
    ∵四边形MPQN是矩形，
    ∴PM=NQ，
    即：
    		3
    t=
    		3
    （1-t），
    解得：t=
    1
    2
    ；

    （2）不管点P如何移动，四边形MPQN的面积不发生改变，理由如下：
    由（1）可知：PM=CP•tanC=t•tan60°=
    		3
    t，QN=BQ•tanB=（1-t）tan60°=
    		3
    （1-t），
    ∴S四边形MPNQ=
    1
    2
    ×1×[
    		3
    t+
    		3
    （1-t）]=
    		3
    2
    ；
    ∴不管点P如何移动，四边形MPQN的面积不发生改变；

    （3）∵△CMP是Rt△，且∠CPM=90°，∠C=60°，△AMN中∠A=60°，
    若使△CMP与△AMN相似，对应的顶点只能是：C→A，P→N，M→M或C→A，P→M，M→N，
    ①当C→A，P→N，M→M时，由△CMP∽△AMN得：
    ∵CM=2t，BN=2（1-t），
    ∴AM=2-2t，AN=2-2（1-t）=2t，
    ∴
    t
    2t
    =
    2t
    2-2t
    ，
    解得：t=
    1
    3
    ；
    ②当C→A，P→M，M→N时，由△CMP∽△ANM得：
    CP
    AM
    =
    CM
    AN
    ，
    ∴
    2t
    2-2t
    =
    2t
    2t
    ，解得：t=
    2
    3
    ，
    综合，所求t=
    1
    3
    或
    2
    3
    时△CMP与△AMN相似，
    当t=
    2
    3
    时，都有AM=CP=BN，AN=CM=BP，
    且∠A=∠B=∠C=60°，
    ∴△ANM≌△CMP≌△BPN，
    ∴NM=MP=PN，即△MNP是等边三角形．
    点评：本题考查了等边三角形的性质以及判定、特殊角的锐角三角函数值、矩形的性质、相似三角形的判定和性质，此题是一道动点问题，解题的关键是充分利用相似三角形的性质和矩形的性质列出关于t的等式解答．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，在边长为a的正△ABC中，分别以A，B，C点为圆心，
    1
    2
    a    长为半径作
    DE
    ，
    EF
    ，
    FD
    ，求阴影部分的面积．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：初三数学圆及旋转题库 第8讲：弧长和扇形面积（解析版） 题型：解答题

    已知：如图，在边长为a的正△ABC中，分别以A，B，C点为圆心，长为半径作，，，求阴影部分的面积．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案