Question

如图，已知AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点D，AC⊥l于C，AC交⊙O于点E，DF⊥AB于F．
（1）图中哪条线段与BF相等？试证明你的结论；
（2）若AE=3，CD=2，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）利用弦切角定理以及平行线的性质可以证明AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质定理可证得：CD=DF，进而证得△BDF≌△EDC，则BF=CE；
（2）根据AC=AF，BF=CE即可求解．

解答：解：（1）FB=CE．
证明：连接DE，BD．
∵DC是圆的切线．
∴∠EDC=∠DAC  OD⊥直线l
∵AC⊥直线l．
∴OD∥AC
∴∠ADO=∠DAC
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ADO
∴∠OAD=∠DAC
∴DF=DC
∵AB是圆O的直径．且DF⊥AB
∴∠ABD=∠BAD
∴∠ABD=∠EDC
∴△BDF≌△EDC
∴FB=CE；
（2）∵CD是圆O的切线．
∴CD2=CE•CA，即4=CE（CE+3）
解得：CE=1
则BF=CE=1
∴AB=BF+AF=BF+AC=1+AE+CE=1+3+1=5．

点评：本题是弦切角定理，根据弦切角定理以及平行线的性质定理证明△BDF≌△EDC是解决本题的关键．