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如图,在直角梯形OABC中,ABOC,O为坐标原点,点A在y轴正半轴上,点C在x轴正半轴上,点B的坐标为(2,2
3
),∠BCO=60°,OH⊥BC,垂足为H.动点P从点H出发,沿线段HO向点O运动,动点Q从点O出发,沿线段OA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.设点P运动的时间为ts.
(1)求OH的长;
(2)若△OPQ的面积为S(平方单位),求S与t之间的函数关系式.并求t为何值时,△OPQ的面积最大,最大值是多少?
解(1)∵ABOC,
∴∠OAB=∠AOC=90°,
在Rt△OAB中,AB=2,AO=2
3

∴OB=4,∠ABO=60°,
∴BOC=60°,
而∠BCO=60°,
∴△BOC为等边三角形,
∴OH=2
3


(2)∵OP=OH-PH=2
3
-t,
∴xp=3-
3
2
t
,yp=
3
-
t
2

所以S=
1
2
OQ×xp=
1
2
×t×(3-
3
2
t
)=-
3
4
t2+
3
2
t
(0<t<2
3
),
即S=-
3
4
(t-
3
)2+
3
3
4

∴当t=
3
时,S最大=
3
3
4
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图:抛物线y=ax2-4ax+m与x轴交于A、B两点,点A的坐标是(1,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标;
(2)过点C作CP⊥对称轴于点P,连接BC交对称轴于点D,连接AC、BP,且∠BPD=∠BCP,求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,设抛物线的顶点为G,连接BG、CG、求△BCG的面积.

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如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小都相同.正常水位时,大孔水面宽度AB=20m,顶点M距水面6m(即MO=6m),小孔顶点N距水面4.5m(即NC=4.5m).当水位上涨刚好淹没小孔时,借助图中的平面直角坐标系,则此时大孔的水面宽度EF为______m.

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如图,点A1、A2、A3、…、An在抛物线y=x2图象点B1、B2、B3、…、Bn在y轴上,若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn-1Bn都为等腰直角三角形(点B0是坐标原点),则△A2012B2011B2012的腰长=______.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图①,在平面直角坐标系中,AB、CD都垂直于x轴,垂足为B、D,且AD与BC相交于E点.已知:A(-2,-6),C(1,-3)
(1)求证:E点在y轴上;
(2)如果AB的位置不变,而DC水平向右移动K(K>0)个单位,此时AD与BC相交于E′点,如图②,求△AE′C的面积S关于K的函数解析式;
(3)过A、E、E′三点的抛物线中,是否存在一条抛物线,它的顶点在x轴上?若存在,请求出k的值;若不存在,说明理由.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,直线y=kx+b,与抛物线y=ax2交于A(1,m),B(-2,4)+y轴交与点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求S△AOB
(3)求
BC
AC
的值;
(4)判断点A是否在以BO为直径的圆上?并说明理由.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知抛物线的函数关系式为:y=x2+2(a-1)x+a2-2a(a<0),
(1)若点P(-1,8)在此抛物线上.
①求a的值;
②设抛物线的顶点为A,与y轴的交点为B,O为坐标原点,∠ABO=α,求sinα的值;
(2)设此抛物线与x轴交于点C(x1,0)、D(x2,0),x1,x2满足a(x1+x2)+2x1x2<3,且抛物线的对称轴在直线x=2的右侧,求a的取值范围.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

一玩具厂去年生产某种玩具,成本为10元/件,出厂价为12元/件,年销售量为2万件.今年计划通过适当增加成本来提高产品档次,以拓展市场.若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍,今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍,则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(本题中0<x≤11).
(1)用含x的代数式表示,今年生产的这种玩具每件的成本为______元,今年生产的这种玩具每件的出厂价为______元.
(2)求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式.
(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元,求当x为何值时,今年的年销售利润最大?最大年销售利润是多少万元?
注:年销售利润=(每件玩具的出厂价-每件玩具的成本)×年销售量.

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今年,6月12日为端午节.在端午节前夕,三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况.请根据小丽提供的信息,解答小华的问题.

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