Question

8．已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处
（Ⅰ）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边CD的长．
（Ⅱ）如图2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF的长度．

Answer 1

分析 （1）先证出∠C=∠D=90°，再根据∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可证出△OCP∽△PDA；
根据△OCP与△PDA的面积比为1：4，得出CP=$\frac{1}{2}$AD=4，设OP=x，则CO=8-x，由勾股定理得 x²=（8-x）²+4²，求出x，最后根据AB=2OP即可求出边AB的长；
（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ=$\frac{1}{2}$PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=$\frac{1}{2}$QB，
再求出EF=$\frac{1}{2}$PB，由（1）中的结论求出PB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{5}$，最后代入EF=$\frac{1}{2}$PB即可得出线段EF的长度不变

解答 解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
又∵∠D=∠C，
∴△OCP∽△PDA；
∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴$\frac{OP}{PA}=\frac{CP}{DA}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，
∴CP=$\frac{1}{2}$AD=4，
设OP=x，则CO=8-x，
在Rt△PCO中，∠C=90°，
由勾股定理得 x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5，
∴AB=AP=2OP=10，
∴边CD的长为10；
（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP=∠MQP．
∴MP=MQ，
∵BN=PM，
∴BN=QM．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴EQ=$\frac{1}{2}$PQ．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QFM=∠NFB}\\{∠QMF=∠BNF}\\{MQ=BN}\end{array}\right.$，
∴△MFQ≌△NFB（AAS）．
∴QF=$\frac{1}{2}$QB，
∴EF=EQ+QF=$\frac{1}{2}$PQ+$\frac{1}{2}$QB=$\frac{1}{2}$PB，
由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，
∴PB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{5}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$PB=2$\sqrt{5}$，
∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等和相似的三角形．