Question

已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在此抛物线上，矩形面积为12，
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；
（3）若线段DO与AB交于点E，以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据已知的直线解析式，可得到点A的坐标，进而可利用矩形的面积求出OC、AB的长，即可得到B、C的坐标，由于AB∥x轴，且同时在抛物线的图象上，根据这两点的坐标，即可确定抛物线的对称轴方程；
（2）由于⊙P同时经过点A、B，根据抛物线和圆的对称性知，圆心P必在抛物线的对称轴上，由此可确定点P的横坐标；由于⊙P与y轴两交点的距离正好等于AB的长，根据圆心角、弦的关系，即可得到P到y轴的距离应该等于P到AB的距离，由此可确定点P的纵坐标，即可得到点P的坐标；
（3）假设两个三角形相似，显然∠DAO＞∠DAE，因此只有一种情况：∠DAE=∠DOA，可过D作DM⊥y轴，作DN⊥x轴，即可得到∠DAM=∠DON，易证得△DAM∽△DON，设出点D的纵坐标，然后表示出AM、DN的长，进而根据相似三角形得到的比例线段求出点D的纵坐标，也就得到了点D的坐标，而后可利用待定系数法求出该抛物线的解析式．

解答：解：（1）∵直线y=ax+3与y轴交于点A，
∴点A坐标为（0，3），
∴AO=3，
∵矩形ABCO的面积为12，
∴AB=4，
∴点B的坐标为（4，3），
∴抛物线的对称轴为直线x=2；
                                                                     
（2）∵⊙P经过A、B两点，
∴点P在直线x=2上，即点P的坐标为（2，y），
∵⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4，
又∵AB=4，
∴点P到AB的距离等于点P到y轴的距离为2，
∴四边形PEAF是正方形，
∴PE=2，
∵OA=3，
∴OF=1，
同理：AM=2，
∴OM=5，
∴点P的坐标为（2，1）或（2，5）；

（3）①当△DAE∽△DAO，则∠DAE=∠DAO，与已知条件矛盾，此情况不成立．
过点D作DM⊥y轴，垂足为点M，DN⊥x轴，垂足为点N，

设点D坐标为（2，y），
则ON=DM=2，DN=OM=y，AM=y-3；
②当△DAE∽△DOA，则∠DAE=∠DOA，
∴∠DAM=∠DON，
∵∠DMA=∠DNO=90°，
∴△DAM∽△DON，
∴

ON

AM

=

DN

DM

，
∴

2

y-3

=

y

2

，
∴y²-3y-4=0，
解得：y₁=-1（舍），y₂=4，
∴点D坐标为（2，4）．
由顶点坐标为（2，4），设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+4，
将（0，3）代入，得a=-

1

4

，
∴抛物线解析式为y=-

1

4

(x-2)2+4．

点评：此题考查了二次函数、圆的对称性，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数解析式的确定等重要知识，涉及知识点较多，难度较大．